RATE

sous-espace invariant, sauf l’espace tout entier et l’origine, elle est dite pe ductible. Dans le cas contraire elle est dite réductible. Toute représentation réductible d’un groupe semi-simple (réel ou complexe) est complètement réductible : c’est à dire qu’elle est le produit direct de plusieurs représentations irréductibles.

Si {X,, X4} est une base réduite d’un groupe semi-simple complexe G, un vecteur x d’une représentation de G est dit de poids w—=w; ef si eiX;lx) = ew;x 2. Le vecteur X;{x) sera de poids [w + à) = {(w;+ a;)e. On peut choisir la base d’une représentation 9 de G de sorte que tout vecteur de base ait un poids, et plusieurs vecteurs de poids différents ne sont liés par aucune relation linéaire. Un poids w tel que [w + a) et (w — a) ne sont jamais des poids en même temps est dit poids frontière. Une représentation irréductible de G est définie à une homographie près par un poids frontière arbitraire ?. Avec les matrices X associées aux éléments d’une base réduite de G on peut construire des polynomes, qui sont une somme de plusieurs termes de la forme aX; Xs...X,, et qui peuvent multiplier les vecteurs x de À. Tout vecteur d’une représentation irréductible À peut s’écrire sous la forme À x, où À est un de ces polynomes et x un vecteur arbitraire de À *.

Dans la suite, G sera un groupe réel semi-simple et © sera le groupe qu’il définit par le passage du réel au complexe. Si une représentation réelle irréductible R de G définit par le passage du réel au complexe une représentation À de G, À est ou bien irréductible ou bien le produit direct

de deux représentations irréductibles de G, %, et %,, conjuguées complexes par rapport à l’espace de R°. D’après M. Cartan, ces deux espèces de représentations irréductibles réelles de G seront dites respectivement de première classe et de seconde classe. Dans le premier cas la représentation

irréductible %, et dans le second cas les représentations M, et À,, sont dites associées à KR. Par définition alors, il est associé à toute représentation irré- “ductible réelle de G au moins une représentation irréductible de G.

Si une représentation irréductible À de G est associée à une représentation irréductible réelle R de G de première classe, R peut être définie de la manière déjà indiquée en choisissant une base de 9 pour laquelle sa struc-

ture devient réelle. Si À est associée à une représentation R de G de seconde classe, considérons la représentation complexe de G qu’elle définit. Cette représentation de G définit la représentation réelle R de G en regardant

?) Weyl, loc. cit, p. 380 et seq. 7. 4, C. Whitehead, Certain equations in the algébra of a semi-simple group, Quarterly Journal, 8 (1937) p. 220-224.

1)-G SP. D-57. 4H We Aer pres

#) G. P., p. 59 et seq.

…. +) G. P., p. 61. et 62. M. Cartan démontre ces propriétés respectivement pour un poids, frontière spécial et pour le vecteur associé à ce poids, mais la même méthode peut s'étendre aux cas généraux.

a) E, Cartan, Les groupes projectifs continus réels qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Journ. de Math., 10 (1914) (désigné dans la suite par G. P. R) p. 155.