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l’espace complexe de 9 comme étant à 27 dimensions réelles au lieu de # dimensions complexes. La représentation réelle de G ainsi définie est unique’.

2. Définissons dans une représentation irréductible À du groupe semisimple complexe G une antihomographie? x— x*, et des matrices X* déterminées par les équations

où X, X représentent les matrices de À associées à deux éléments générateurs de 6 conjugués complexes par rapport à G. Ces matrices forment une représentation R* de G, et les matrices X* de À* et X de À correspondent au même élément générateur de G. On vérifie immédiatement, en effet, que les matrices X* jouissent des propriétés fondamentales des représentations de énoncées dans la première section de ce chapitre. La représentation R* est irréductible, car toute variété plane invariante par À* serait la transformée d’une varieté plane invariante par À. On peut passer d’une antihomographie à une autre quelconque en effectuant sur les vecteurs x* une homographie. Cette homographie transformera la représentation R* associée à la première antihomographie en celle qui est associé à la seconde. Za représentation N* est alors la même à une homographie près pour toute antihomographie de Xi.

Si À est la représentation de G associée à une représentation irréduc-

tible R de G de première classe, les matrices X et X sont conjuguées complexes par rapport à R; c’est-à-dire que

où x est le conjugué complexe par rapport à R du vecteur x. La représentation À* associée à l’antiinvolution x* — x est définie alors par les équations

(X* x") = (X x) = X x", et Les représentations R* et À sont les mêmes.

Récipraquement, si l’antihomographie est involutive, nous pouvons choisir la base de À de sorte que x*—x, le conjugué complexe de x par rapport à cette base. Si À* est égale à À, soit X — X un élément générateur du groupe réel G, considéré comme sous-groupe de G. Si x est réel, x — x*, et X x — (X* x*) = (X x)", le transformé de x par X est donc réel, et les vecteurs réels de % engendrent un espace réel à z dimensions, où z est l’ordre complexe de la représentation N%, dans lequel est définie une représentation réelle R de G. Cette représentation R définit R par le passage du réel au complexe.

1SGE PAR, p.101: ; 3) Si (x) est un système de coordonnées dans R, une antihomographie x— x

est définie par un système d’équations de la forme

x" : = de x où (x/) sont les conjuguées complexes des coordonnées (x). Si (x*)* = x, l’antihomographie est dite antiinvolution. Dans ce sens, l’antihomographie = x n’est une antiinvolution que si À =1.

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R étant irréductible, il en est de même de R, qui est alors de première classe. Z/ faut et il suffit pour que À soit associée à une représentation R de G de première classe qu’il existe une antiinvolution de À pour laquelle NN.

Pour qu’il existe une antihomographie d’une représentation irréductible R de G telle que N* = HN, il faut et il suffit qu’il existe, pour une antihomographie arbitraire, une homographie de %i° en Ji. Si, en effet, il existe une antihomographie pour laquelle f*— À, la représentation N* associée à toute autre antihomographie sera semblable‘ à la représentation f* de la première antihomographie, et par suite semblable à 9. Réciproquement, s’il existe une homographie qui transforme N* en N, effectuons cette homographie sur les vecteurs x*. La nouvelle représentation N* sera égale à Di.

Soit maintenant {X;, X.} une base réduite de G pour laquelle

X: = X; N'R Si x, est un vecteur de Ÿ de poids © — w; e' relatif à e’ X;, Xi ro =(Xix) = (ox) = ox,

et x, est un vecteur de Ï* de poids w—w;e, le conjugué complexe du poids &. Inversement, si un vecteur x* de R* est de poids w, le vecteur x de À dont il est le transformé est de poids &. 11 en résulte que les poids de la représentation N* sont les conjugués complexes des poids de la représentation JS et, en particulier, que les poids frontières de R* sont les conjugués complexes des poids frontières de R. Les représentations À et N* étant irréductibles, £{ faut et il suffit pour qu’il existe une homographie de N° en À que le conjugué complexe d’un poids frontière arbitraire de À soit également un poids frontière de À. En effet, la condition pour que R* et À soient semblables est qu’un poids frontière arbitraire de N soit aussi un poids frontière de N*?. Une représentation irréductible de G qui satisfait à cette condition sera dite ,autocorrélative par rapport à G“9. Les poids frontières de À étant les homologues d’un poids frontière arbitraire par le groupe {S) engendré par les opérations S.‘), /a condition pour que À soit autocorrélative est simplement qu'un poids frontière arbitraire soit homologue par (S) de Son conjugué.

1) Deux représentations d’un même groupe seront dites ,semblables“ s’il existe une homographie qui transforme l’une en l’autre.

:) G. P., p. 59 et seq.; voir note (3), p. 50 de ce présent mémoire.

+) G. P.R, p. 166. Cette notation tient à ce que, si une représentation réelle de &

définit par le passage du réel au complexe le produit direct d’une représentation autocorrélative FR, de G par sa conjuguée complexe %,, les représentations ft, et À, sont semblables.

‘) voir plus haut, Chap. Il, $ 1. Le groupe (S) est un groupe d’automorphies du

système de poids de % et non simplement du système d2 racines caractéristiques de 6. GAP p.58.