ET

La représentation irréductible À étant supposée autocorrélative, tout poids frontière de N est un poids frontière de À*, et le conjugué complexe © d’un poids frontière arbitraire © de À est également un poids frontière de M. Les vecteurs xo et x9, respectivement de poids 4 et ©, sont chacun déterminé à un f'cteur numérique près), et il existe une homographie bien déterminée de JN* en À qui transforme x en 2x9, À étant un facteur arbitraire. Il existe alors une antihomographie bien déterminée de Y pour laquelle R* = À et x? = 2 5 : on obtient ainsi toutes les antihomographies pour lesquelles R*— SN.

Exprimons xG sous la forme F xo, où F est un polynome construit avec les matrices X de N. Si nous remplaçons dans F chaque matrice X par la

matrice correspondante X, et chaque coefficient numérique par son conjugué

complexe, nous obtiendrons un nouveau polynome F. Si x% — À x5,xb —=4Fxo, . . * =

et on voit facilement que x6 = (F xo)* — 2F x5, donc

(xo) = (4x5) —=22FFx0.

Pour que l’antihomographie soit involutive, il faut que (x°)*= xe. Je dis que cette condition est suffisante. En effet, tout vecteur y peut se mettre sous la forme y — A xo où A est un polynome ; y*— À x5 , (y*)“—A (x®)*=y, et l’antihomographie est involutive. Pour que l’on puisse choisir À de sorte que (x0)* = xo, il faut et il suffit que FF xo—kxo où k est réel et positif. Une représentation irréductible autocorrélative À de G qui satis] ait à cette condition sera dite de première classe relative au groupe réel G. La condition pour que RÀ soit associèe à une représentation réelle de G de première classe est qu’elle soit de première classe relative à G.

Démontrons maintenant que la représentation R de G ainsi définie par la représentation À est unique. La constante 2 est indeterminée à un facteur numérique de la forme e'© près. Si l’on multiplie tous les vecteurs x de 9 par un même facteur e—*”?, les vecteurs x* seront multipliés par le conjugué complexe e’%2 de ce facteur, et À sera remplacé par 2e'°. Or cette transformation ne change pas les matrices X de la représentation D, d’où il résulte que toutes les antiinvolutions associées aux différentes valeurs de À définissent des représentations réelles semblables de G.

Enfin, soit R, la représentation réelle de G d’ordre 2# obtenue en regardant l’espace de la représentation À de G comme étant à 2% dimensions réelles au lieu de z dimensions complexes. Si J est associée à une représentation réelle R de G de première classe, les vecteurs de R définiront dans R, un sous-espace à z dimensions invarient par G, et la représentation R; sera réductible. Une représentation irréductible % de G de première classe n’est alors associée à aucune représentation irréductible de G de seconde

classe.

De? "p.62

RS

Théorème 1: Toute représentation irréductible de G de première classe relative à G est associée à une représentation irréductible réelle de G et une seule, qui est de première classe.

3. Soit maintenent 9 une représentation irréductible de 6 qui n’est pas de première classe relative à G, et soit R, la représentation réelle de G obtenue en considérant l’espace de À comme étant à 2% dimensions réelles au lieu de z dimensions complexes.

Si R, était réductible, l’un des sous-espaces de R, invariants par G serait de » Zn dimensions, et ce sous-espace définirait dans À un sousespace complexe à » dimensions au plus invariant par G. 3 étant irréductible, ce sous-espace invariant devrait se confondre avec 9%, et une base du sousespace invariant de R serait composée de # vecteurs de 9 entre lesquels il n’existerait aucune relation linéaire à coefficients complexes. Prenons ce système de vecteurs comme base de ; on voit immédiatement que les matrices de Y associées aux éléments générateurs de G seraient réelles, ce qui est contraire à l’hypothèse que À ne soit pas de première classe. La représentation R, de G est alors irréductible ; elle est donc de seconde classe.

Théorème Il: Toute représentation irréductible de © qui n’est pas de première classe relative à G est associée à une représentation irréductible réelle de G et une seule, qui est de seconde classe."

4. Définissons maintenant par la méthode du Chapitre 1, $ 5, un ordre des racines caractéristiques de G; les poids de étant des combinaisons linéaires à coefficients réels de ces racines}, on peut définir un ordre des poids par la formule suivante, analogue à celle qui définit l’ordre des racines :

D—=o;.6 > 0 = 0,2 si y = Op m0, Hs DA Op > Op (p < 4).

Celles des opérations S. pour lesquelles & est une racine purement imaginaire engendrent un groupe (S’), sous-groupe de {S), qui laisse invariante la partie réelle de toute racine & et de tout poids © (Chap. I $ 5, p. 19). Si À est autocorrélative, soit Q son poids dominant*, caractérisé par la propriété que (wa) n’est jamais un poids si « est une racine caractéristique supérieure à zéro, et soit Q, le plus petit des homologues de Q par le groupe (S’]. Posons Q, —© (Q), où © est une transformation de (S’), et soit ©-'

l'inverse de ©. Si «a >0, ou bien R (a) = R (a) > 0 ou bien À{a) = R{a)—=0 et alors a << 0. Dans le premier cas, À(S-1{a)) = R\a)>0, 6 ta} = 0%et

1) Ce théorème et le théorème I sont équivalents à des théorèmes publiés par M. Cartan dans G. P. R. La seule différence consiste en la définition des représentations de première classe par une propriété différente,

CP np 5e