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CCF

S-1(Q,+a)—=Q+S-1{a), qui n’est pas un poids. // en résulte que |, + à) rest pas un poids de À. Dans le second cas, S,(Q)—Q,—ka et LD 0, car, Si k<< O0, S(Q,)—S4S(Q) serait plus petit que @,, qui est contraire à l’hypothèse. On aurait Su(Q,+a)—Q, —{#+41)a où (44+1)>0, et (Q,—a! serait un poids si (Q, + a) était un poids!) Or, Q, étant un poids frontière, (Q, + a) et (Q, — a) ne sont pas des poids en même temps, ef par suite (Q, + a) n’est pas un poids de À.

Donc, (Q,—+ a) n’est jamais un poids si «a >0, et on voit que le seul

poids frontière qui satisfasse à cette condition est le poids ©. // existe alors

une transformation S de (S!) qui amène Q en Q.

Choisissons une base {V;} du sous-groupe abélien g, de G engendré par {X;} telle que toutes les racines caractéristiques de @ sont des formes linéaires à coefficients réels des nouveaux paramètres {e*'). Nous pouvons regarder la forme quadratique définie positive g;; e*' e*/, somme des carrés des racines caractéristiques, comme céfinissant une métrique euclidienne dans l’espace E, à coordonnées e*', L’opération S, se traduit par la symétrie par rapport à l’hyperplan a = a; e*‘—0Q, et le groupe {S’) devient le groupe engendré par les symétries par rapport aux hyperplans À; e*’= 0, où À représente une racine purement imaginaire arbitraire. Ces hyperplans ferment une famille invariante par (S/) et partagent l’espace FE; en plusieurs régions (D) qui sont des régions fondamentales du groupe (S/. Tout poids de la repiésentation étant une combinaison liréaire à coefficients réels des racines caractéristiques de @, on peut regarder le poids w— w;e*' comme un vecteur dans E, dont les composants covariants sont &°. Si ce vecteur est à l’intérieur de (D) ou sur sa frontière, nous écrirons w € (D).

A toute région [D] est associée une autre région (D’), la symétrique de (D) par rapport à l’origine. Si (D) est définie par les inégalités