DU RD

la transformée de [D) par l’automorphie du système de racines caractéristiques qui amèae « en & est définie par

APR UMR RES)

et on voit que cette nouvelle région est la région ([D’). Si alors & C (D), on aura Q C (D/) Or, il existe une transformation et une seule de {S’) qui transforme (D) en (D’} et il existe C (D’) un vecteur et un seul homologue de @

par (S’)?. Le poids © étant homologue de © par {S’), ce vecteur est nécessairement égal à Q, et la transformation de [S/) qui amène (D) en (D'), transforme Q en Q.

1) Toutes les expressions w w+a,.., w+ka—=S, (w) sont des poids si «w est

un poids.

:) E, Cartan, Complément au memoire sur la géometrie des groupes simples, Ann

di Matematica, 5 (1928).

= ee

Cette transformation peut être mise sous la forme S=S;,...S,Sa

où les racines purement imaginaires 2,, 4,...,24, sont toutes orthogonales deux à deux et par suite les opérations S,, S:,,..., S:, sont échangeables entre elles).

Soient &« et & deux racines orthogonales. Si l’une des deux quantités (a + 8) est racine, il en est de même de l’autre, car

Ss(a +8 = {a + 8)—24{((a + 8).8)/(8) } 3 La quantité 2(a« (a+ f))/(a +8} = 2{a) /{{a)}? +{(8j°} est un entier?), d’où il résulte que (a)? —{8}, et que ((&+-B).{(a— B)) = (a)? — {8}? —0. La somme et la différence des deux racines (@ + 5) sont 2a« et 26, qui ne sont pas racines”, et Sa+e Sa-g(o)= © — 2 {((a + 6). 0) /(a + 6} } (a + B) —2{((a—8).c)/(a — 6} } a —8) = @—2{(a.o)/(a?}a—2{18.0)/([8P }3 = Sa Se (w).

Si alors l’une des quantités (2, + À.) est racine, on pourra remplacer dans © les deux opérations S:, et S:, par S1,42, et S:,-2. Chaque fois

qu’on effectué cette opération les carrés scalaires des À correspondant aux nouvelles S sont supérieurs aux précédents et, puisque le nombre de racines caractéristiques est fini et l’ensemble des valeurs des carrés scalaires des racines est par suite borné, en un nombre fini d’étapes on réduira la transformation G de {S') à la forme

Sa, RP ar où aucune des quantités (4, + À.) ne sera racine.

Théorème Ill: Si une représentation irréductible À de G est autocorrélative par rapport à G, il existe un poids frontière Q de N dont le conjugué complexe est un poids de La forme

S(Q)= Sa, Sa... Sa (0)

où À, À,...,7À, sont des racines caractéristiques purement imaginaires de G felles qu'aucune des quantités (2, + À,) n’est racine. a

5. Cela étant, considérons la suite de poids Q, = 9, Q,=S;, Q,, .. Q, Fr Si, =.

1) W. Barrett, Comptes rendus, 208 (1939) p. 962—4. ?) Cette quantité est le coefficient k dans Sa+p (&) = à — k (a +8). PÉCABOSSAMERENT ;

On peut supposer les signes des racines 2, choisis de sorte que Q,;—Q,—2,2,, où k—=2{(Q,,.2,)/(4,;°} est un entier positif, et si *o,. est un vecteur de poids Q,;, (x, )" (xo,,) sera un vecteur de poids Q@,. Posons F=(xr)"...(xi)"(x2)"

et soit xo un vecteur de poids Q. x5 —F xo est alors un vecteur de poids 4, et la condition pour que la représentation À soit de première classe relative à G est que FFxo soit un multiple réel et positif de xo.

Du fait que X:—X; et que IX XL] = IX RAI 0si Fes il ré sulte que l’on peut écrire le polynome FF sous la forme

Ddp + + de D

où S,= (X2,) ” (X2,)"

r—1 Le poids Q,;, est égal à Q — Y k, 2; et (4,.2,\—0; nous avons alors h=1

k,=2(Q,1.2,)/(4,P—=2(Q.2,)/(2,} et ce coefficient peut être défini par la relation Sa, (Q)] = Q — k, 2,.

Supposons maintenant que la base { X;, X«} de G suit réduite par rapport à G (Chap. I, $ 3) et définissons une suite de vecteurs No REIN AN a nm X at ve) où S2(Q)—Q— 472. Nous aurons

Ne TL, 24)

où #—=Ÿ{—(0.4+(i—1)(4}2. Or (0.24 (4), d'où w, est égal à pa upe- 0 |

Il en résulte que (X2}* (Xx)* (ro) = v1x0 où »: est du signe de (— 1}. L'application de ce résultat au polynome FF —9,...Ÿ,.%, démontre que

FFxo = 7x0

où »— Ill») est du signe de (—1}#. Pour que » soit positif, il faut ct il Suffit que Die soit pair. Dans la démonstration de cette propriété nous avons supposé le signe de la racine À, choisi de sorte que k, est positif. Or cela n’est pas nécessaire, car si l’on change de signe 2,, l’entier k, change

de signe et la parité de Ÿ4, ne change pas. Nous avons alors le théorème suivant :

Théorème IV : Les conditions pour qu'une représentation irréductible R de G soit de première classe relative à G sont:

2) Weyl, loc, cit., I, p. 280.

(i) R esé autocorrélative par rapport à G

[ii] s S—S;,...S,, S1 est une transformation de (S') transformant un poids frontière Q de À en Q, telle qu'aucune des quantités (2, + À) n’est racine, La somme des coefficients k, définis par

Si, (Q) = 0 — 4,1,

est pair.

6. Si le groupe réel G se décompose en deux sous-groupes réels invariants G, et G,, le groupe complexe G se décompose en G, et G,, les groupes complexes que définissent respectivement G, et G; par le passage du réel au complexe. Les racines caractéristiques de G relatives aux éléments d’un sous-groupe abélien maximum se décomposent en deux familles orthogonales, la première composée des racines caractéristiques de G, et la seconde des racines caractéristiques de G,. Toute combinaison linéaire des racines de G peut être exprimée d’une manière et d’une seule sous la forme d’une somme d’une combinaison linéaire des racines de G, et d’une combinaison linéaire des racines de G,. L’involution T du système de racines de G qui définit le grouge réel G est le produit des involutions T, et T, des systèmes de racines de G, et de G, qui définissent respectivement les groupes réels G, et G:.

Une représentation irréductible N de G définit d’une manière univoque deux représentations irréductibles, l’une de G, et l’autre de @.. Réciproquement, deux représentations irréductibles, À, de G, et N, de G, définissent une représentation irréductible N de G. Un poids frontière Q de N est la somme d’un poids frontière Q, de Ÿ, et d’un poids frontière Q, de N,,, et inversement, la somme d’un poids frontière de N, et d’un poids frontiêre de N, est un poids frontière de Î. Le conjugué complexe Q—TQ de Q est égal à Q, + Q,=T,Q, HT, Pour que © soit un poids frontière de À, il faut et il suffit que Q,, Q, soient des poids frontières respectivement de À, et de ,. La condition pour que À soit autocorrélative est alors que À, et JA, soit autocorrélatives.

Cela étant, supposons qu’il existe une transformation @ du groupe (S!) qui satisfait aux conditions du théorème III et qui transforme un poids frontière Q& de À en son conjugué complexe Q. Cette transformation est le produit de deux autres, l’une qui se compose d’opérations S: appartenent aux racines caractéristiques de G, et l’autre qui se compose d’opérations S: appartenant aux racines de G,. La première transforme Q, en Q, et la seconde

*) On peut définir le ,produit® R de R, et R, de la manière suivante: si x' et yJ sont respectivement les composants de deux vecteurs x, y, l’une de ff, et l’autre de %,, le vecteur corréspondant de (x,}), À est de composants (xy)f= x'yf, La matrice d’un élément de @ de la forme X + Ÿ), où X est un élément de G, et Y est un élément de G,, est donnée par l'équation

CH Y) Gr) = (X (0,7) + (YO):

transforme @, en Q,. Il est évident alors, que l'indice % de Q@ est égal à la somme des indices N, et N, des poids @, et Q, de À, et N,. L'indice sera pair si À, et N, sont de la même parité. 77 faut et il suffit donc pour que À soit de première classe que N, et N, soient autocorrélatives respectivement par rapport aux groupes réels G, et G,, et, ou bien qu'aucune de ces deux représentations ne soit de première classe, ou bien qu’elles soient toutes deux de première classe.

Il en résulte :

Théorème V: Si un groupe réel semi-simple G se décompose en plusieurs groupes réels simples G,;, G,,..., et si R est une représentation irréductible du groupe G que définit G par le passage du réel au complexe, R étant le produit d’une représentation irréductible de chacun des groupes Cormeres oo, 6... définis. par. G,, G.,...:

(i) La condition nécessaire et suffisante pour que R soit autocorrélative par rapport à G est que chacune de ces représentations soit autocorrélative par rapport au groupe réel correspondant.

(ii) La condition nécessaire et suffisante pour que À, étant autocorrélative, soit de première classe est que toutes Les représentations dont elle est le produit soient de première classe, à l'exclusion d’un nombre pair d’entre elles.