CHAPITRE IV

1. Nous avons ramené la recherche des représentations réelles des groupes infinitésimaux semi-simples réels à la recherche parmi les représintations irréductibles des groupes semi-simples complexes associés aux groupes simples réels, de celles qui sont autocorrélatives et de celles qui sont de première classe.

Considérons d’abord les groupes réels simples G pour lesquels G n’est pas simple. Soit G le produit direct des deux groupes complexes simples 6, et G,, conjugués complexes par rapport à G. L’involution du système de racines caractéristiques de G qui définit G, échange entre eux les systèmes de racines de ®, et de G, et par suite échange entre eux les groupes {S,) et (S,) associés à G, et G,.

Une représentation irréductible % de G est le produit (Chap. II, $ 6) d’une représentation irréductible À, de G, et d’une représentation irréductible N, de G,. Si R—Q, + Q, est un poids frontière de À, où Q, et Q, sont des poids frontières respectivement de Ni, et de Ni, Q—=9Q, +Q, où Q,, le conjugué de @,, est une combinaison linéaire des racines de ©, et Q, est une combinaison linéaire des racines de G,. Pour que À soit autocorrélative, il faut et il suffit que Q, soit un poids frontière de N, et que Q, soit un poids frontière de N,. Si À, est une représentation donnée, il existe une représentation À, de G, de poids frontière Q,, déterminée à une homographie près. Si Q, est un poids frontière arbitraire de R,, Q, et Q, sont homologues par (S;) et par suite Q, et 9, —Q, sont homologues par (S;) et Q, est un poids frontière de N,. Il en résulte que le produit À de À, et À, est une représentation de G autocorrélative par rapport à G. À foute représentation irréductible de G, correspond une représentation irréductible de G et une seule qui soit autocorrélative par rapport à G. Cette représentation est d’ailleurs de première classe, car il n’existe pas de racines caractéristiques purement imaginaires, d’où il résulte que l’indice # d’un poids frontière est nécessairement nul.

Le poids dominant de toute représentation d’un groupe complexe simple est une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de / formes linéaires appelées poids dominants fondamentaux. Les conditions que nous allons trouver pour qu’une représentation soit ou bien autocorrélative ou bien de première classe seront exprimées au moyen de ces coefficients.

Remarquors que le poids dominant d’une représentation n’est pas défini d’une manière uniVoque, mais dépend de l’ordre des racines caractéristiques que l’on a choisi. Le poids dominant est pourtant toujours un poids frontière. Un système de poids dominants fondamentaux détermine complètement le