SUR

4) a=areé +iane"(=0,1,...0—1; #—0,e +1 ft, Ours 2 Les coefficients a, œn étant réels.

Toutes les racines caractéristiques relatives à e” X;r sont alors des formes réelles des e‘”. Elles ne s’annulent pas toutes en même temps si les e” ne sont pas tous nuls. La forme quadratique q (e") — grye”e, qui est la

somme des carrés de ces racines, est donc définie positive. De la même manière, les racines relatives à e”’ X;, sont purement imaginaires et la forme quadratique

Pa à ABS Là pr , . . . " “ Le Gi e* e7 est définie négative. Enfin, grrr = £Ÿ ay ajn et, girjn, Gr, an étant tous réels, gr ;jn — 0. :

Il en résulte que g;;e'ef est de la forme

gi je eŸ el + gin ju ei" où la première de ces deux formes et définie positive et la seconde est définie négative.

Nous verrons maintenant qu’il existe toujours une base réduite { X;, X4} satisfaisant aux relations (2) telle que g est positif si &« est purement imaginaire. Soit en effet À—;/"e" une racine purement imaginaire pour laquelle g;x est négatif. En effectuant en même temps une substitution linéaire réelle des e” et une substitution linéaire réelle des e’” on pourra réduire la racine À à la forme 4* e/-1! et en même temps g;; e' e/ à la forme Y{e} — Y{e"}. Le caractère de cette forme quadratique est égal à (0 — 0).

[X2,X;:]=—1[X%,X;]—=0 si iZÆl—1, et les I éléments générateurs {(X2 + X7, X:), X5, X1,+-., X,—2} de G engendrent un

sous-groupe abélien maximum go de G. La forme æp(e) relative à l’élément {E(X:, HX7)+eX, +...+e-2X;,} de ce sous-groupe est égal à

o—1 1—2 — 2 gan E + Ÿ (er) — 2 (ei'> :

Lan étant négatif, cette forme quadratique est de caractère (9—6+2). Il y a (/+4-2) racines caractéristiques de G qui s’annulent pour tout élément générateur de la forme eX; (—0,1,..., / — 2): ce sont les / racines qui s’annulent pour tout élément de g, et les deux racines + 4. Mais on vérifie

immédiatement au moyen de l’équation Ca Lij = Cia Lu a (1,81) que

{ 1 Joe, ou—x: +7 g2,.X1-1)]=0(6—0,1,..., /—2)

L 1 Me Per lec-+x2. 06 Xr+22g2,.X11)]=—1ig3,22, 4" (2202 ,Xr1+X1—X3). 1 1 Il y a alors deux racines caractéristiques qui sont égales à+ég, 22 1€ pour un élément générateur quelconque de g. Celles-ci s’annulent identique-

Lies

ment pour tout élément de la forme e' X; (ë—0,1,...,/— 2) et on voit qu’il y a simplement / racines qui s’annulent pour tout élément de Gi Le sous-Lroupe G contient donc un élément général de 6.

Si alors il existe une racine À purement imaginaire pour laquelle £:} est négatif, il existera une base réduite ie, XA} de G satisfaisant aux équations (2), pour laquelle le caractère de la forme quadratique £;;e* e/ est augmenté de deux. Or, la valeur de ce caractère ne peut pas dépasser /. Il en résulte que l’on peut choisir La base {X;, X4} de sorte que gaw Soit positif si & est purement imaginaire. L

Cela étant, soit {X;, X,}—{X;, k, XA } une nouvelle base réduite de G- Nous pouvons choisir À, de sorte que ke ka —=1/j£gaw et kx — k. Cela ne présente en effet aucune difficulté si la racine &« n’est ni réelle ni purement imaginaire, Si «& est reelle, g., est réel et on peut supposer également que ka, ka Soient réels. Si & est purement imaginaire, «/— « et nous aurons à

choisir 2, de sorte que =& ka =1/guw. Or cela est possible, car £,4 est réel et positif. Pour la nouvelle base nous aurons vu, —1 et Xe = X%.

Nous avons alors démontré l'existence a’une base réduite {X;, X4} de G satisfaisant aux conditions suivantes :

û (exe [X.—=Xxz.

(ii) doute racine à est de la forme ax e” + à œn e", où Ë—=0, 1,...,0—1; =, ç+1,...,0+o6—1—/—1

et Les a, an sont tous réels.

(ii) plage ei — Deer.

Une telle base sera appelée base de G réduite par rapport à G. Comme conséquence de la déuxième condition nous avons Li; e° eÎ — Li jr ei! ei! + Qi jn LUN 2 où la première des deux formes quadratiques du second membre de cette équation est définie positive et la seconde est définie négative.

4 M. Weyl a démontré" qu’il existe une base réduite { Y;, Va} d’un groupe semi-simple complexe G ayant les propriétés suivantes :

(i) toutes les racines caractéristiques relatives aux éléments générateurs

e Y: du sous-groupe abélien maximum g, engendré par les { Y;} sont des formes linéaires à coefficients réels des parametres ei.

1) H. Weÿyl, loc, cit, p. 367—375.

(ii) la forme quadratique p{e) est D ei EE 2 et e* où g;;e' e/ est une forme quadratique définie positive. (iii) ee b— cl pl.

Une telle base s'appelle base normale réduite de G. Rappelons la méthode

employée par M. Wey/ pour en démontrer l'existence.

Soit {X;, X, } une base réduite de G. On démontre d’abord qu’il existe une base { Y,} du sous-groupe abélien g, engendré par les {X }, telle que toute racine caractéristique relative à e* Y; est une combinaison linéaire à coefficients réels des e’. La forme quadratique g;; ee est la scmme des carrés de ces racines. De plus, si les e’ ne sont pas tous nuls, les racines ne s’annulent pas toutes à la fois. La forme g;;e'e/ est donc définie positive.

Remplaçons maintenant tout élément générateur X, par Xe — ke X« où les coefficients 4, satisfont à la relation k4 ka guu — 1. Nous aurons FAC —=1, et la forme quadratique (e) relative à la base { Y;, X, }.sera

pl = gi; dei — D et et où g;;e'ei est définie positive.

Cela étant, écrivons 6) a=meé>f=bé;B<a si

= Ba =0,1,...,p—1) et ap > By pour une valeur convenablement choisie de »p < /. Cette définition a un sens, parce que les «;,6; sont tous réels.

On vérifie immédiatement que ay si ay et que CE EN AE de pi si D 0 0e

On fait ensuite l’hypothèse qu’il existe une base réduite (Xi: Ye) de G

pour laquelle

pe) = gi; ef ë — D eu eur ‘et (6) cp = Cup Sn DL, DST,

& étant une racine donnée, et on démontre que cette hypothèse entraîne l’existence d’une base réduite de G, se déduisant de la précédente en multi-

pliant X, par k et en même temps X+ par, pour laquelle

p (e) = p;; PA de 3 ete“ ce

et 14 ) Chpt = Ch p pour DE; 7 EL 0.

Si o—a+s où w'<La,B<w,k est déterminé au signe près. Si

* Le 1 V7 1 : *o! nu *&w *o!

Mn et NT Si NX , — FA Cap et Cal gr = Ru pr . Or Cap === Cap! ;

donc “mur RTE (ce / cum)? 3

Si © n’est pas la somme de deux racines &«,B qui satisfont aux inégalités la, <<w, on peut choisir À arbitrairement.

L'existence d’une base normale réduite {V;,Y.} de ©, en résulte par induction, en faisant croître «©.

On peut aller plus loin et dire que, si {Y;,V.} est une base normale réduite de G et si ce — Ye pour w'<a,fB y < w où les y2s sont les constantes de structure de la base {Y;,Y.}, on peut choisir X,—kX, et

Ko = + Xu de sorte que C6 = y,8 pour wa, b,7y, yLow. Dans cette

réduction, k est déterminé complètement si o=a<+f$ et «<a, B<w, et non simplement au signe près, mais il reste complètement indéterminé si «w ne peut pas s'exprimer sous cette forme. C’est essentiellement cela que M. Van der Waerden a fait pour démontrer qu’à tout système possible de racines caractéristiques il ne correspond qu’un seul groupe semi-simple complexe.

5. Nous allons maintenant démontrer qu’il existe une base normale réduite {V;, Y.} de G elle que

Yi= 6; Y; Ve où &;, tx = +1 et en particulier, = +1 si à est purement imaginaire. Soit {X;, X.} une base de G réduite par rapport à G. Toute racine

caractéristique relative à €’ X; étant de la forme a = an €” + ide" (== 0, ...,0 —1 ; = {, + lisa 1} où les coefficients @;, a; sont réels, on pourra réduire toutes les racines à

des formes linéaires réelles des paramètres en écrivant

1) Van der Waerden, loc. cit., p. 448.

Vy = X; ; LV'ET == EX; e° sn e' : gi" = à ei"! :

Cela nous donne G=gie" = 0,1%... $&—1) et Vie Y: où er = +1 et en = — 1,

La forme p{e) relative à la base { V;, X, } est

gije ie i— dec ev

où Li; ete i =gnje" el) — ginjne "ei", qui est définie positive.

Les formules (5), appliquées aux coefficients «&; des racines caractéristiques & définissent alors un ordre de ces racines qui servira à déterminer par la méthode de M. Wey/ une base normale réduite { V;, Va} = { V;, ka Xu} de G, Où kuku = 1. Soit Ra) = ar e” la partie réelle de la racine « relative à l'élément e’ X; du sous-groupe g, de G. Les relations (5) définissent également un ordre des quantités À (a), et on voit que

a>B6 si A(a> ARE

Ra R(E) si ap. Soient &,&, deux racines telles que R(w)= R{w,)7Æ0. Si l’on peut, sans changer la structure de la base {Y;, V4} et sans changer les éléments générateurs Ÿ, pour lesquels w'<a<w, remplacer Y,, par un élément générateur arbitraire de poids «w,, nous dirons que les éléments générateurs {Ya }(w!<a<w) ne déterminent pas Y,,. Dans le cas contraire nous dirons qu’ils le déterminent.

Si &' Lo, <o, les { Y,}(w'<<a<Lw) déterminent Y,, par définition même. Si Y,, est déterminé par { Y.}(w/ <a<w) et w, D ©, il résulte de la méthode de détermination d’une base normale réduite, que w, = B + y où B, y sont deux racines caractéristiques satisfaisant aux inégalités re À POS. Ici deux possibilités se présentent: ou bien w/<< 6, y<<® ou bien l’une des deux racines B, y (soit f) ne satisfait pas à ces inégalités. De l’inégalité y < &, et de B+y—0, il résulte que B> 0. Dans le second cas alors &, > BE w, d'où Rlw)> RP Rlo). Or, R(o)=R{o), donc Rlw,)= R(E) = R(w); enfin, R(B)+ R(y) = Ro) = R(B), d'où R|y)—0 et y est purement imaginaire. Des inégalités R(w') L0 = R(y) << R(w) il résulte que w'<y<o. Ecrivons 8ê—&,, y—À,. On voit que Y,, est nécessairement déterminé par { Va}(w! <a<w). Sinon, en effet, Vs, —k4X, serait un élément générateur quelconque de poids ©,; et on aurait Ya,—=# (2/72) Xu, qui est un élément arbitraire de poids w,; ce résultat serait contraire à l’hypothèse que {Va }(w'<a<w) déterminent V,.. |

En continuant ainsi, nous trouverons une suite de racines

où 2, L,... sont des racines purement imaginaires supérieures à zéro. Le nombre de racines caractéristiques étant fini, on terminerait par une racine

= — DA = a+

où «æ,B sont deux racines qui satisfont aux inégalités &«/<a,fBo. Nous aurons enfin une suite de racines

DD = Dh, = 0 —2,,...,0,—=0,1—À,=0a+8p où À,,4»,..., 9 Sont des racines purement imaginaires et a,B sont deux racines telles que <a, B<o.

Réciproquement, si une telle suite existe, on pourra déterminer de proche en proche les éléments générateurs, Vos Yo,jseeer Vois Yoye Si Vo, St égal

De ne à À Xo,, On aura Yo. , —=À (2: > Pme M Remarquons que, en

vertu de la relation 4,,k4, = 1, Yo, et Yu, sont déterminés en même temps.

6.: Cela posé soit Vs MN VE Re RAR OU Re Jet 1 MIE DAS normale réduite de G, où les { Y,} sont ceux définis dans la section précédente et par suite

Vie Vi(er=1;ü—=0,1,...,0—1.en=—1;i#—=0,...,l—1).

Supposons que Vue Yx si @'<a<o,e,, étant égal à +1 et en particulier à —+-1 si en même temps «& est purement imaginaire, et soient y les constantes de structure de la base { Y;, Ve}. De la relation Ve — k,X% il résulte que

(8) * Ve tk ks lle )rcass et des équations ke ka —=1,c%8—c? 2 que

7 Z! 4) 3 : Rue

VE Ve D 2e = Chge Cp Vas LT. ; 4 # . ! . |

Or, la base {V;,Y4} étant normale réduite, 25 —7y#» et on voit que

2 LE hep.

Des équations y23—(k«ko/k). ces et c2 e , il résulte que

(9) akokylkakrk) = Va/rs= +1 Supposons d'abord que w soit purement imaginaire.

Si o—=a+s où w'<a,B<w, les racines &,f sont nécessairement purement imaginaires, et &/,a!,f/ sont respectivement égales à &,@,ÿ. La formule (9) nous donne

ve] Var = Ur Eee. Eg.

o o! s®% à n + N Or, Yag = Ya g = V5 7 Eu — € — 1 et les y. sétant réelles!), 45 = k,, d’où

Ÿ., e (79 / k à) Ve — te dé où

Si © ne peut pas s’exprimer sous la forme a+-B, où w' <a, ,B<w,k, peut être choisi arbitrairement, sans changer les éléments générateurs {Ve} (w'<a<w) et sans changer la structure de la base {Y;,Y4,}. C’est une conséquence, en effet, du résultat de M. Van der Waerden cité à la fin de la section 4.

Prenons alors k, = kr — 1 ; il vient

Vo=(ks ko) Vs = E0. Ya

Etudions maintenant les cas où « n’est pas purement imaginaire. Il y a trois possibilités qui se présentent.

D'abord, si les {V4} (w'<a<w) déterminent ou bien Y, ou bien Ya, il existera une suite de racines D » D = Op — À, Op = 0-1 — À —=0 +6

où w,—@ou selon le cas, 2,,2 ,...,4, sont des racines purement imagi-

naires qui satisfont par suite aux inégalités ©'< 4,4 ,...,1, <& et a, sont deux recines telles que «<< a,B5< w. Appliquons à cette suite la formule (9).

Or, nous avons vu que y, ,—= + ee ; il en résulte que œ |

(ko, / kx) Co Se 1 et ji Le —: LR dr Eee ous 175; = +1.

De Ja relation 4,.ky = 1, il suit que Yo — €. Yw. Si les {Y.}|w'<a<w) ne déterminent ni V, ni Ys mais st les {V,}(ow' ao) déterminent Ys, il existera une suite de racines

1) Weyl, loc. cit., p. 372. La quantité Neg de Weyl est égale à cop