Les groupes A; (Chap. IL
Tout poids d’une représentation est de la forme! © ="; X' où © m;—0 et les ”; sont égaux module un. Si @ — M; x’ est le poids do minant, les coefficients des poids fondamentaux sont ? : DRM: M1...)
On obtient les homologues de « par le groupe {S) en effectuant une permutation arbitraire des coefficients #17;. Etudions les différents groupes réels :
i) Le groupe réel normal de caractère /. Toute représentation est autocorrélative et de première classe.
(ui) Le groupe réel de caractère {— / — 2) défini par:
la —1,2,...,1L]):.0—1+2— à
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4+1)/2 où / est impair. Cette involution peut s’écrire II S;x, ef toute représentaœ—1
tion est autocorrélative. L’involution est une transformation du groupe ({S/) satisfaisant à la condition du théorème III, qui transforme le poids dominant
Q en son conjugué complexe Q.
et l'indice N est égal à D (Me — Mz) (&— 1, 2,...,(/4-1)/2). Or, les ceefficients (M, — Ma) étant des entiers, cette expression est de la même parité que +1 | = {Me} =pi+ ptit pl.
nel à 3 À ; Pour que la représentation soit de première classe il faut et il suffit que PP scan p" soit pair. |
HIGP,(p-61-8 :) G. P, p.68.
ii) Le groupe réel de caractère (1 — 9°) défini par: [ x=— xt (a—1,2,...,2p;a=2p+1—a) | x —. x (a —2p+1,...,2p+q—=l+#1)
Soit Q— M;x' le poids dominant; pour que © soit homologue de Q par (S) il faut et il suffit que les quantités (— M;) forment une permutation des coefficients M;. Or, les coefficients p' sont par définition tous positifs ou nuls, et
M:> Min. La condition est alors que M; = — M;:2-1 ou, ce qui est équivalent, D pe = Pour que la représentation soit autocorrélative, il faut et il suffit que pi SPA
Cela étant, il existe un poids frontière wo —m;x', où les m; sont une permutation des M;, pour lequel { Ma = — Ma Ma = — Ma-1 Si à est pair Mi = 0 si {41 est impair.
Une transformation © de {S/) qui satisfait à la condition du théorème III et qui transforme © en © est | S=HSaa-1 (a—=2p+#+2,2p+4...,2[(41)/2) Sasa--1 (0) = © — (Ma — Ma1)(a,a — 1) = ©—2m,(a, a}. L'indice SN est égal à 2Ÿm, (a—2p+2,2p+4,...,2[(1+1)/2]). Si (/4 1}. esé impair, m, = mi |mod. ni ; K est pair, ef toute représentation aulocorrélative est de première classe. Si (/+-1) est pair, il y a deux cas possibles: ou bien #1, — 0 (mod. 1) ou bien #1, 0 {mod. 1). Dans le premier cas, % est pair, et dans le second,
et
Ma = — Maxi = — Ma (mod. 1}, et m, = . (mod. 1). Pour que À soit pair il faut et il suffit dans les deux cas que M; =", (mod. 1) — 0 (mod. 1) ou que g/2 soit pair; g étant pair, on peut combiner ces deux conditions sous la forme M;. g = 0 (mod. 2). | «Or, Mein = — Mesa — À. pUH/2 et la condition devient à QT .O (mod. 2). Si (/+1) est pair, il faut et il suffit pour qu'une représentation autocorrélative soit de première classe que 5 pEU MG =:0 (mod. 2}.
SR Les groupes B; (Chap. I, $ 3).
Tout poids d’une représentation est de Ja forme o—m; x, où les coefficients #7; sont égaux module un’).
Le groupe réel de caractère / — 2 5{s4 1) défini par S = IT (Sz, 2-1 Sa2-1) (4 = 9 +2, g+4,..., + 2[s/4]: q—l—s) si S est pair et par S = Sy I (S:,2 41 Sa au)
si S est impair. Tout poids frontière étant homologue de son conjugué par (S), éoute représentation est autocorrélative.
Les racines (4, 2 —1), (2, —1/) étant purement imaginaires, on voit que la transformation satisfait aux conditions du théorème III Si Q— M; x' est le poids dominant,
S2,2-1(Q—=Q— (M; — M2-1)(4,4 +1) S2,a-1 (9) = @ — (Mi+ Ma) 4 + 1°) S1(Q) = Q — 2 M;(4, et l’indice X est égal à 2 M:
Les M; étant égaux module un, cette expression est de la même parité que 21s+1)/2]M= [is+1)/2])p1,
p1 étant le cocfficient du premier poids fondamental ”. Pour qu’une représentation soit de première classe il faut et il suffit que
soit pair.
