Les groupes C; (Chap. II
Tout poids d’une représentation est de la forme Q = /n;. x".
li) Le group: réel normal de caractère /. Toute représentation est de première classe.
li) Le groupe réel de caractère — / — 2 s: défini par:
PS HS; la 1, 2. HD Dpt lu; A=2p+41,.. je 2p+s)
Tout poids étant homologue de son conjugué par (S), foute représentation
est autocorrélative.
Les racines (&, &) et (4, 4') étant purement imaginaires la transformation
S satisfait à la condition du théorème III. Si Q = M;x' est le poids dominant, Sax (@) = © — (Me — Mo) (, à) Ne 0 M 4 d/] et l’indice À est égal à | | D (Ma — Ma) + È Mu.
Or, les coefficients (M; — Mz) et (M2) étant des entiers, cette expression est de la même parité que M, —M, + M, —M,...—(—1) M.
Les coefficients des poids fondamentaux sont ?
p'=M;:-—Mih (Ê = 1, 2,.. A)
22 = M, d’où il résulte: pour qu’une représentation soit de première classe il faut et il suffit que
pi+ps +. | . + p?2IU+17/21- 1
soit pair.
D Les groupes D, (Chap. II, $ 5).
Tout poids d’une représentation est de la forme «w — m; x'et les homologues des « par {S) s’obtiennent en effectuant une permutation arbitraire des indices et en changeant de signe un nombre pair des coefficients 7;:. Si Q = M;x' est le poids dominant, les coefficients des poids fondamentaux sont ? :
p'=M; — M; p°=M;-, + M; DM M sue 40e. à li) Le gcoupe réel de caractère / — 2 s? défini par
| xt — 9 (= 1,2;
de 47 eg Lis gen @tt Si Si s est pair, cette involution est une transformation du groupe {S), soit
IT (S2,2-1 Sun) (= 9 +2, g +4,., g +s—1) et toute représentation est autocorrélative. Si s est impair, il faut et il suffit pour que Q@ et Q soient homologues que l’un des coefficients M; s’annule. Les p° étant par définition positifs, ce coefficient est nécessairement M,, et (p®—p'}=2M;=0. Si s est impair, la condition pour que la représentation soit autocorrélative est que p\ = p?.
Cela étant, une transformation © satisfaisant à la condition du théorème HI est:
S= I (S4, 2-1 Saa-n) (À =9+2, qg+4,. ., g+2([s/2])
et
Sa, 2-1 (Q) = Q — {Ma — M1) (2, 4—1)
S2,2-11 (0) = Q — (Mi + Ma: (4, À).
L'indice À est alors égal à
NIGER PTT :) G. P., p. 72.
