LOT

Dans cette hypothèse, siles { Y,} (w'<a<w) ne déterminent pas Y où w'<B<0, les {Y, }(w £a Z w) ne le déterminent pas. En effet, V5, Ys’ étant déterminés en même temps, en peut supposer B>0. Or, Ë ne satisfait certainement pas aux inégalités &! < B <w. Donc, B>X © et R(ER(B)=R (83 À (œ) (7,85). On voit alors que (2 — «) est une quantité purement imaginaire supérieure à zéro. Si les { Y, }(w' £a Z<w) déterminaient Yy, il existerait alors une suite de racines

®, =É, —=û—bm,..., Dg = Og-1 — Uy= O.

L'existence de la suite conjuguée

O5 =) Oise. 40) 0!

entraînerait que les éléments générateurs { V.} («/ << a<«) détermineraient Ys, ce qui est contraire à l’hypothèse.

Nous pouvons donc choisir 4, arbitrairement sans changer les éléments générateurs { Y,,Yz} (w'<a<w) et sans changer la structure de la base {V;,Ya}. Une fois k, choisi, k; est complétement déterminé par l’équation

Il ka. (ko / ks) { Yo 4 4 Pot ue 6e / Co 4 e CA NO ca) qui s’obtient par l’application à la suite (10) de la formule (8) Ecrivons ko] ko —@ et appliquons la formule (9) à la suite (10). Cela nous donne [Té.(ee)={e5. Pda PE] VEUT 23 NE d’où ee—=1 et |e|—=1.

Prenons alors

nous aurons Ye = (ko / k=) Ve cs Ya vel V3 + £o No

Il ne reste à considérer qu'une seule possibilité. C’est Le cas où Les {Ya} (@'<a<w) ne déterminent ni Yo ni Vs et les {Va} (wa Zw) ne déterminent pas Y;. Les coefficients k,, kz peuvent être choisis arbitrairement et indépendamment sans changer les éléments générateurs Va, Vs} (@! <a Low) et sans changer la structure de la base Din

Prenons donc 4, = k5 = 1; il en suit que

VPN = » et Vi=aye

oniiaidenet At toet digit: à

Nous avons démontré alors qu’il existe une base normale réduite {V:, Y. } de 6 telle que

Vu = £a Ya Si GT TD) Où &;, Ex = + l el Ex = +1 si à est purement imaginaire. Par induction en

faisant croître w, on démontre

Théorème I: Si G est Le groupe complexe défini par un groupe semisimple réel G, il existe une base normal réduite {V;, V4} de G telle que Ÿ= — 6; Y; (Es —=+1

Se = +1)

avec &, = +1 si à est purement imaginaire.

7. Soit {X;, X.} une base de G réduite par rapport à G, et soit (Vi, Val={e/X;, kX.} une base normale réduite de G telle que a TR Va Ex Lo

Ra ka —1et kal ha = 8x. M suit des équations (11) et (3) et du fait que les y, constantes de structure de la base { Y;, Y&}, sont réelles, que

| ET, (12) VU € Le { He ELLE .

Les racines caractéristiques relatives à e' Y; étant ey;., il en résulte que la transformation involutive V;—e; Y; de la base du sous-groupe g, de base { V;}, laisse invariant le système de racines caractéristiques &« en transformant & en a. On voit aussi que la transformation

V;—=E&;Y; V'ÉSCA

de la base de G est une aulomorphie involutive de 6.

Réciproquement, soit {V;,Y.} une base normale Jr de G, gl soient e;,&« des constantes égales à + 1 telles que:

(i) la transformation Vi = 8; Y; de la base de g, laisse invariant le système de raçines caractéristiques en transformant à en «.

(ii) la transformation | V=eY:

| Va = £o Yz

est une automorphie involutive du groupe G. De la seconde condition il résulte que les équations (12) sont vérifiées et que &, = £a.

Considérons la base {X,,(Va + &e Va), (Va — Eu Ya) de 6, où X; = eV. Les équations (12) nous permettent de vérifier que cette base est de structure réelle. Elle est alors une base d’un groupe réel G, sous-groupe de G, qui définit G par le passage du réel au complexe. Le groupe G est nécessairement semi-simple et, par rapport à G:

| V;=Yi—E6Y; | Va Vote Vz.

Théorème Il: Si {Y;,YQ,} est une base normale réduite d’un groupe semi-simple complexe GO, et si &;,e, sont des constantes égales à +1 telles que : ;

(i) La transformation Vie, Y; de la base du sous-groupe q, laisse

anvariant le système de racines caractéristiques cn transformant «& er @;

(ii) la transformation Vi eV; Va Eu Va

est une automorphie involutive de 6, le groupe G peut être considéré comme défini par Le passage du réel au complexe par un groupe semi-simple réel G, et, par rapport à G: Vie; X;

ve = Eg Va

Cherchons les bases normales réduites { V;,Y.} de G pour lesquelles il existe de telles constantes &;,e, pour lesquelles &, — + 1 si & + & — 0. Nous pouvons choisir arbitrairement le sous-groupe g, de G engendré par les {V;}, car il existe une automorphie de G qui transforme l’un des sous-groupes g, en un autre quelconque!” Supposons alors que { V;, Y.} soit une base normale réduite arbitraire de G. Les racines &« sont des formes linéaires à coefficients réels des paramètres dans g, correspondant à la base { Y,}, et par suite toute . transformation linéaire involutive de cette base qui laisse invariant le système de racines caractéristiques est réelle. Or, les { Y;} sont déterminés à une transformation linéaire réelle près, d’où il résulte qu’une telle involution peut se réduire par un choix convenable des { Y;}, à la forme

:) E. Cartan, Le principe de dualité et la théorie des groupes simples et semisimples, Bull, Sc. math , 49 (1925) p. 364. RME F

où Er = +1si”=0,1,...,0—1;en——1sii"—0,e11,...,0+0—1—1—1.

La base {VY;} de q, satisfait alors à la première condition du théorème II.

Si «& est la transformée de «, nous conviendrons de dire que a, & sont deux racines conjuguées et que deux racines &, B telles que a— a et B—f sont respectivement réelle et purement imaginaire. Définissons par la formule (5) ($ 4)-un ordre des racines caractéristiques; toutes les propriétés d’un tel ordre developpées dans la section 5 resteront vraies. *

8. On sait que! si { Y;, Ye}, {Z;, Z«.} sont des bases normales réduites de deux groupes semi-simples complexes G et S, distincts ou non, et si les systèmes correspondants de racines caractéristiques sont les mêmes, Z4 et Y+ étant de même poids à; e* respectivement relatif à e* Z; et à e’ Y;, il existe une isomorphie de G et $ définie par

Y;— Z; | Vu Ex La où & = +1 et &v.eu = 1. Or, Y, et Yz sont de poids à; e’ respectivement par rapport à e',Y, et à eY;— ee; V;. Nous pouvons donc poser $—G et

Li &i Y; ÜZa—= Ya et nous aurons une automorphie de G de la forme Vi 6; Y; Vu = Eu Va.

Il en résulte que (13) Ve g = Ee € ë pe et que Le Than ve:

d’où (14) Ea Ep Ey — Ex Ep Ey.

La condition pour que l’automorphie de G que nous venons de définir soit involutive est que &,. — #7. Supposons alors que & 8x si &'<a<0 ét que, = + 1-si ‘en même temps «& est purement imaginaire.

Si d’abord w est purement imaginaire, et si s5—a+f où à, À sont deux racines qui satisfont à wo! <a, BL, « et B sont purement imaginaires,

1) Van der Waerden, loc, cit.

et Jo —Y" — ve . Il résulte de l’équation (13) que & = 1, et & = Ew = 1/8, —1. Si w est purement imaginaire, mais si elle ne peut pas s'exprimer sous la forme & + 8 où w!'< a, B<w, on peut remplacer V, par un multiple arbitraire de lui-même, sans changer la structure de la base {Y;, Y& } et sans changer les éléments {Y®} (w'<a<w). On peut donc supposer que Y,—Y>, ce qui donne

il et SIL ES he

Si w n’est pas purement imaginaire et si les {Yi } lw'< a < w) déter-

minent ou bien Vi, ou bien Y=, appliquons l’équation (14) à la suite de WU, —= 0 ou &, = 0) —A,...,0,—=0) 1 — À, —0a+h où d, d,...,24, sont purement imaginaires et w <a, B<« Cela nous donne Evo €a Ep = Eu £a a:

Or, £a = Ex et eg — eg, donc &,— ex et & —e€;. De la relation &, . € = 1 il résulte que & — &5/.

Si w n’est pas purement imaginaire, si les { Y: }|w'<a<w) ne déterminent ni Vi ni VS, et si de plus les À Vi (wa Low) ne déterminent pas Y&, on peut remplacer Y,, Ys par des multiples arbitraires et indépendants d'eux-mêmes sans changer la structure de Ja base A2 YA} et sans changer les éléments } Ve, Vz} w’ << a <w). Nous pourrons alors supposer Vi = Vs, Ve Yet

Eo = Eo! = Eo —= Ev! — À:

Le seul cas qui reste à considérer est celui où les {Vi} (w&' <a<w)

ne déterminent ni Y, ni Ÿ= mais où les {Vs} (w' £a Zv) déterminent Y=.

Appliquons à la suite de racines :

(15) O,=O,0—=06,—À,...,0, = 0,1 — À, —=0, l'équation {13). Il en résulte que

I] (e).eu es = { TEL ee net LAS post

op À4 Or, 1 —1 et les y sont réelles, donc l’expression

est positive. Pour que €, — 6; il faut et il suffit alors que le produit 16) | [x 22) soif positif. Enfin, &,—ey; en même temps que &, = &5. Si dans le cas où les (YA (w'<<a<w' déterminent ou bien Y, ou

Li * . . . A . # bien Y—, il existe une suite de la forme (15), ce même raisonnement démontre

que le produit (16) associé est positif, Il en résulte par induction en faisant croître «© qu’il faut et il suffit pour que l’on puisse choisir Les &, de sorte que Eu £a el que Ex = + 1 Si & est purement imaginaire, que le produit (16) associé à toute Suite de racines non purement imaginaires de la forme

où ,Â,...,4, Sont des racines purement imaginaires, soit positif.

De plus, si w est une racine quelconque d’une telle suite, il faut et il suffit pour que &, — € que le produit (16) associé à la suite soit positif, car la suite

donne le même produit (16) que la suite primitive BL. Op Op De cela il résulte que, si deux suites de la forme (15a) admettent une racine commune ou si une racine de la première est la conjugée d’une racine de la seconde, les produits (16) correspondants sont de même signe.

0. Définition : L'ensemble des racines d’une suite de la forme (15a) et de leurs conjugées sera appelé ,cycle de racines“ si aucune des quantités À, + À n’est racine. L’entier p sera appelé l’ordre du cycle.

Considérons les deux espèces de déformation d’une suite (15a) obtenues :

ou en remplaçant w,,w, respectivement par {o — À,), w,-1 + A) si “Eu n’est pas racine.

Une telle déformation laisse toujours invariante au moins uné racine de la suite, et par conséquent elle ne change pas le signe du produit (16). O on voit que par une succession de telles déformations on pourrait arriver à une suite pour laquelle aucune des quantités (4, + 4.) ne serait racine. // jaut et il suffit alors pour que l’on puisse choisir les &, de sorte que &x — &a et QUE Eu — +1 si a est purement imaginaire, que le produit de la forme (16) associé à tout cycle de racines soit positif.

Un cycle de racines d’ordre p est une suite de racines non purement imaginaires (17) D, = 0, , = Do l,..., Oop= Dipet — Â2p = @

où d,4,,...,49 Sont des racines purement imaginaires et aucune des quantités (4, + 4,) n’est racine”. Une telle suite n’est pas nécessairement un cycle, mais si elle est un cycle, 4, —2/,;, et le produit (16) correspondant est

1) Ici, , racine“ veut dire ,racine non nulle“,