FE [T

Si dans une suite de la forme (17),(2—+ 4,:1)Æ 0 et on remplace &,

par = O1 — du = Osy1 + À, l'équation de Jacobi OS s Ds ce O1 > ôs Vüs2 s 1e 1 2541 ë, 2s—1 és Zs

montre que &; est racine et que le produit (18) n’est pas changé. Or, par une succession de telles déformations nous pourrions réduire un cycle à une suite de la forme

Di = O5, D = 0 — À, D, th A—= 0,0%

Die = Ds “Open 00-25, 002 = 05

et le produit (18) deviendrait

P (O) Op— À [I (ra 75 . Va. 10 .

S=1 La base { V;, Y,.} étant normale réduite, Vae= — ya 9 et ce produit est du signe de (— 1}. On arrivera alors au théorème suivant:

Théorème III: Pour qu'une involution du système de racines caractéristiques relatives aux éléments générateurs d’un sous-groupe QG, d’un groupe semi-simple complexe G puisse définir une automorphie involutive de G de la forme

Vi €; Y; VER Lo (où ét Si 10, 1,..., 015 = 1 SU 0) 0 ARR

Eee +1 et ex +1 si à est purement imaginaire), À V;} étant une base

de g et ŸY;, Vu} étant une base normale réduite de G, il faut et il suffit que tout cycle de racines déterminé par l’involution soit d’ordre pair.

Corollaire: Si deux cycles de racines admettent une racine commune) l’ordre du premier est de la même parité que l’ordre du second. Les deux cycles doivent donner, en effet, la même valeur pour €,/e; où & est la racine commune.

Des théorèmes I et III il résulte :

Théorème IV: À fout groupe réel associé à G il correspond au moins une involutiou du système de racines caractéristiques de pour laquelle tout cycle est d’ordre pair.

10. À toute involution qui satisfait à la condition du théorème III il est associé au moins un groupe réel qui définit G par le passage du réel au

1) Weyl, loc, cit, p. 371 (85).

complexe. (Th. 11}. Démontrons qu’il n’en existe qu’un seul. Dans la démon- Stration de théorème I, la base normale réduite { Y;, Y.}de laquelle on part

est arbitraire à condition que

Vi AE SLI Si 6—0,1,...,0—1 ct sois dell 32 1,71.

De plus, chacune des constantes &, a une valeur bien déterminée. Dans certains cas, en effet, elle est déterminée en fonction des constantes &, (w/ << « < w) et de la structure de la base {Y;,Y4,} et dans les autres cas nous avons

convenu de lui donner la valeur unité. En prenant comme base du groupe réel G, la base

El Vi, (Va 6e Val, é(Va— 8e Yz)} de G, nous voyons que la structure de G est bien determinée.

Toute involution du système de racines caractéristiques pour laquelle tout cycle est d'ordre pair détermine un groupe réel et un seul qui définit G par le passage du réel au complexe.

Définition: Deux involutions d’un système de racines seront dites équivalentes“ s’il existe une transformation linéaire qui transforme l’une en l’autre.

Soient { Y,},{Z;} deux bases respectivement de deux sous-groupes g, de G telles que les racines caractéristiques sont pour ces deux bases des formes linéaires à coefficients réels des paramètres, et supposons que les transformations V? —6;Y; et Zi —6;Z; définissent deux involutions équivalentes du systéme de racines". On pourra choisir les {Z;} de sorte que les racines caractéristiques relatives à e’Z; et e* V; soient les mêmes et d’après le théorème de M. Van der Waerden déjà cité ($ 4), il existera deux bases normales réduites { Y;, YA} et {Z;,Z.} de même structure. Si les deux involutions définissent respectivement les groupes réels G et H nous aurons après réduction par la méthode développée dans la démonstration du théorème 1, par rapport à G:

Vi 6; Y; Va tu Ya, et par rapport à H: = = 7: | DL

où les constantes &, sont les mêmes pour les deux groupes. Or, cette 1éduction ne change pas la structure des bases ! V;,Y.} et {Z;,Z«}, qui auront par suite toujours la même structure.

Il en résulte que les bases

1) On peut toujours supposer que les s; sont les mêmes pour deux involutions équivalentes, car il en est ainsi pour p,5.

{ ef, V3 (Ve “| Eu Va PVC RCE Ya) } et

{ ef" ZX ; (Ze + 27 Z? ; A4 mn 13) } respectivement de G et de H auront la même structure et que les deux groupes réels G et H seront isomorphes.

Théorème V : À chaque involution du système de racines caractéristiques de G pour laquelle il wexiste pas de cycle dordre impair, il est associé un groupe réel et un seul qui définit G par le passage du réel au complexe. Deux involutions équivalentes définissent deux groupes réels isomorphes.

11. Calculons le caractère!) du groupe réel semi-simple G défini par une involution donnée du système de racines. Par définition, le caractère de G est celui de la forme quadratique p{e), somme des carrés des racines caractéristiques relatives à une base réelle de G. Soit À Y;, Y. |} une base normale réduite de G pour laquelle

VS — eV; et Ye = ee Va

où les constantes £;, & sont assujetties aux conditions habituelles. Relative

à cette base la forme y{e) est

@ (e) == 2; ei ei se et e* où g:;e'ef est définie positive. La forme œp{e) relative à la base | LEP Vr, (Vote Va, [Va Val}

de G, devient

Gorpr et ET — gi jn ei — 25; CE) + CP I + où (e*°, Ëx, Ya) Sont les paramètres correspondant à cette base ; #—0, 1,...,0—1 ; =, 6+1,..., oHo—1—7/—1 et la somme est étendue à toutes les racines purement imaginaires supérieures à zéro. Le terme À est une somme de produits de la forme Ë*E“ ou %*%*, et cette forme quadratique est de caractère .

où t est le nombre de racines purement imaginaires.

1) E. Cartan, Les groupes réels simples, finis et continus. Ann, École Normale, 34 (1914) (désigné dans la suité par les initiales G. R.) p. 268.