CHAPITRE

1. Un groupe réel semi-simple est le produit direct d’un ou de plusieurs groupes réels simples et il suffit donc de trouver ceux-ci pour avoir tous les groupes réels semi-simples. M. Cartan a démontré qu’il y a deux cas possibles !/. Si G est un groupe réel simple, le groupe G qu’il définit par le passage du réel au complexe est, ou bien simple, ou bien composé de deux groupes simples qui sont conjugués complexes par rapport à G.

Dans le second cas, soit © le produit direct des deux groupes simples complexes @, et G;: ; on obtient le groupe réel G en considérant l’espace du groupe @, comme un espace à 27 dimensions réelles au lieu de 7 dimensions complexes, r étant l’ordre de G;. Tout groupe simple complexe définit de cette manière un groupe simple réel et un seul.

Il reste à considérer les cas où © est simple. Les groupes He simples associés aux groupes complexes simples peuvent être déduits des systèmes bien connus des racines caractéristiques des types divers de groupes simples complexes. Nous allons chercher les automorphies involutives de chaque système de racines, non réductibles l’une à l’autre, pour lesquelles il n’existe pas de cycles de racines d’ordre impair. D’apiès le théorème V, il sera associé à chacune de ces involutions un groupe simple réel et un seul. Le théorème IV nous montre d’ailleurs que nous obtiendrons ainsi tous les groupes réels simples qui définissent par le passage du réel au complexe un groupe simple donné. Si nous exprimons l’involution sous la forme

Eee = 0, 0-1

= —6" (=, o+l,..., 0 Fo—1—=/x:rd)

où / est la rang du groupe, et si l’involution change de sigre 7 des racines caractéristiques, le caractère Ô du groupe réel sera

Nous pourrons simplifier les calculs en remarquant que, si une racine caractéristique est contenue dans plusieurs cycles, il suffit de considérer l’un quelconque de ces cycles. En effet le corollaire du théorème III montre que les ordres de tous les cycles contenant une même racine seront de même parité. Il nous sera aussi utile d'introduire certaines automorphies S, du

1) G. R, Pp:

hi

système de racines, définies de la manière suivante. Appelons d’apiès Var der Waerden') produit scalaire des deux racines GG MNCNMIEE 0 "C0 la quantité (a. Bj= gi a: 8; où LT — 6% et Dee == NOTE fe,

Nous pouvons définir de même le carré scalaire (a? —{«.a) de toute racine & et le produit scalaire |w.«) de la racine « par une forme linéaire quelconque w — w; e. Les opérations S4, et Su associées aux racines « et @’ sont définies par l’équation ?

Sao) = Sur, ©)= © — 2 {w.a)/{aj }.a.

Elles ont été définies pour la première fois par M. Cartan*) par la propriété que S;(B)— ka et B+ ka sont des racines en même temps, £ etant une racine caractéristique quelconque.

Toutes les automorphies du système de racines laissent invariantes toutes les relations linéaires qui lient les racines ; il en résulte que si uné automorphie transforme «& en a*, elle transforme S, en Sax. Les racines B pour lesquelles (&.8)—0 sont dites orthogonales à «, et caractérisées par la relation S«(B)= 8. L'ensemble des racines orthogonales à &« se transforme alors en l’ensemble des racines orthogonales à a*.

Remarquons enfin qu’il y a deux cas spéciaux qui se présentent pour tout groupe complexe simple. Si l’involution se réduit à l’identité, il n’y a pas de racines purement imaginaires#, et par conséquent tout cycle est d’ordre zéro. Nous aurons @ = / et o—œ7=—0. 11 existe toujours alors un groupe réel de caractére I. C’est le groupe réel rormal engendré par une base normale réduite du groupe complexe. Si l’involution change de signe toutes les racines, elles sont toutes par définition purement imaginaires et il n’existe donc pas de cycles. 6 —0, o=7/ et T—7r— 71 où r est l’ordre de groupe. On obtient ainsi le groupe réel unitaire de caractère —r. |

1) Van der Waerden, Die Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen, Math. Zeit.° 37 (1933) p. 447.

+) À. Weyl, Darstellung kontinuerlicher halbeinfacher Gruppen, II, Math. Zeit., 24, (1935) p. 367

Van der Waerden, loc. cit, 3) C., p. 57, Théorème VII. Avec la notation de M. Cartan,

O3 Se —= 03 + da Or, Ù Ca,a, (oh) C(oh),a,@ = — des > Ca, «!,(0 k) C(oh),8,8, = Ba. (1 (1 Si nous écrivons w:= « et w3 —8, cela nous donne avec notre notation RES are œ dB « 2 Cie CooeCi à

expression qui est invariante par toute transformation de base réduite de G. Or, pour une base normale réduite c

î 8 ; ; CaaeCip= —gh Cia cie = — (af); chu . cg = — (dj? et ga =—2(a.f) / (a). 4) Pour la définition de racine purement imaginaire voir Ch, LS UT