Les groupes A

Les racines caractéristiques sont!) C,j= (tax) (,1=1,2,...,/41;ixi) où D'x)=0. Si w— m;x, les opérations S, sont

| Si;(o = — (nm; — m;)|i, ji]

Il existe des sous-systèmes de racines tels que la différence de deux racines d’un même sous-système est toujours une racine. Ce sont les 2 (/+1)} systèmes (à ,j) et (j,4), où les ystème est déterminé par l'indice 4, , et l’indice j prend toutes les valeurs de 1 à (241), sauf à. L’ensemble de ces 2 (/ +1) sous-systèmes est nécessairement invariant par toute automorphie. Or la somme des racines d’un tel sous-système est

Il en résulte que le système des quantités [+ x‘) est invariant par l’automorphie. De plus, si x'=x7 et si x*—=—x/, où x' et x* sont les transformées des coordonées x° et x*, la racine (£,k) se transformerait en la quantité (x2 + x!), qui n’est pas racine. | y a alors deux cas possibles: ou bien le système de quantités (x') est invariant par l’automorphie ou bien il se transforme en le système |(— x).

Si l’automorphie est involutive, elle peut être réduite, en effectuant une permutation des indices, à la forme

[ = exe Ep 22. c—2p) 1 0e

ner la —0p41,2p 49, ,2pLqè Et où e— + 1 cherchons les cycles dans les divers cas.

I: e—+}1. Les racines purement imaginaires sont (a, a) et tp, Le tableau suivant donne les racines non purement imaginaires, un cycle contenant chacune de ces racines et l’ordre de chaque cycle:

racines | cycles ordre (a, a) + (a, a) | (a, a), (a, a) Hi (a, €) + (a, à) (@, a), (a, a) 1 (a, b] + (a, b) (a, b] 0 (a, 8) —+ (a, B) (a, B), (a, 8}, (a, P}, (a, À 2