RS
1) C., p. 71 et Æ. Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math., 41 (1913) (indiqué dans la suite par GP) p. 067.
WT Que
Les seules involutions où il n’existe pas de cycles d'ordre impair sont données par :
il) p—=0, il g—0 et p—{/+1)/2; celle-ci n’existe que si (241) est pair. Nous avons alors deux groupes réels :
i p—0. L’involution est l'identité et le groupe réel est le groupe normal de caractère /.
ii) (/4 1) pair et p—{/+1)/2. L’involution peut s’exprimer :
+ | GE x) = (at xt) | (&@—1, 2,...,(/—1)/2) A RER EE | BL D ST 2,
Donc, eç—{/—1)/2, o0—=(/{+1)/2, 7=2p=—{/+1) et
L’involution peut se mettre sous la forme RES ,
a=1 IH: = — 1. Les racines purement imaginaires sont {a,b) et 1—={q°—q) Les racines non purement imaginaires et les cycles sont :
racines | cycles lordre| (a ; a) 7 (a , a) LT ad (æ ; 6) La (8 , @) 3 ee
Il ny a pas de cycles d'ordre impair et il existe alors un groupe réel pour toute valeur possible de g, soit g9—/+1,/—1,...,0 ou 1. L’involution est définie par les équations:
:e (ue pé = fre ve) | (o—1,92,.. pl.
Lx) — (8 Lx) (8—1,2,...,p—1) [7 xt — ya > (a@=2p+1,...,2p+q—1l+1)
Nous avons donc 0ç=p,60=l—p,i—=q—g et den = fee Il y à alors deux classes de groupes réels du type A:
(il) Le groupe normal de caractère L et, si L est impair, un QU de caractère — [[+2), defini par l’involution
Dior (&=1+2— à)
CAE |
Sn
(ii) les groupes de caractère (1 — q°) définis par Les involutions
= ge (a—1,...,2p;a—92p+1— 0) D a — 2 loop gl 1.) 3. Les groupes B;.
Les racines caractéristiques sont !
QI 2 ls ie Li et x=—— x", Les opérations S4 sont ?
f S;: (© = © — 2m; (à USilo)= 0 — (mi — m;) (à, i), où nous convenons de poser M; =—mMm;.
Il est clair que toute automorphie laisse invariant l’ensemble des racines (5). En effet, toute autre racine est la somme de deux racines, ce qui serait faux pour toute racine {i). Il en résulte que toute automorphie du système de racines est de la forme x'= + x (9 == ne alle Si cette automorphie est involutive on pourra, en effectuant une permutation des indices, la mettre sous la forme :
fase : a Gb st 2p fade 0 Hd | Hier a—2p+1—asia>0 et a=—(2p+1)—a si a<0 rer, @=+<0p+t1),..., +(2?2.+ 0)
Lr=—s, (Q=+(p#ott,.., +p+a+s=+;
et par un choix convenable des signes des coordonnées {x*) on pourra s'assurer que 0 —+1. Les racines purement imaginaires sont (2), (À, u) et (@, a) et t—2{s + p}). Le tableau des autres racines et des cycles est:
racines | cycles | ordre (a,b), (a',a)”, | (a,b], (a! a), | 0 (a) sont réelles (a) respectivement (&, a) + (a, a) (æ, a), (a, a) 1 CEA (a), (a) 1 (a, À) + (a, À!) (a, 4), (a, u), (a, Ÿ'), (a, ) 2
(a, 8 (af (a #8] te, Bi, (o, 8h (e, 8, la, f (a, 2), (au), (a, 4), (a, 4), (a, w), | (a, À
DCrpaoiel-Ge p.60. 1) G. P..p. 69.
s) Nous posons a = —a et a——a, etc,
[es]
emo ere PEER
Pour qu’il n'existe pas de cycles d'ordre impair, il faut et il suffit que p soit nul. Nous avons alors (/+- 1) groupes réels pour lesquels s—0, 176 et g—{—5s. L’involution est définie par les équations:
AE re PR PONS” — AD A=g+1, 9+2,...,qg+s—=b1
ét 09,208 0r TE 273 4oNc 0—Qg—6c—r7—l—2s(s +1) Il existe alors une seule famille de groupes réels, de caractère L—2s{s+1) (s—0,1,...,/), et l’involution peut s'écrire sous la forme
H{S11+1Sv241) = +198 gr 5, 2), qu'il faut multiplier par Si si s est impair.
4, Les groupes Cz.
Les racines caractéristiques sont!) GE, = (x — 41) OUT El EME Tente
Les opérations S, sont?
S;:,(w) = © —(m;— m;){i,j) si 7 j' Sir ©) = © — m;li, i!}, où, comme pour les groupes B,, nous posons M: = — "mi.
La somme de deux racines distinctes de la forme {é,£) qui ne sont pas opposées, est toujours égale au double d’une troisième racine, et ces racines sont les seules pour lesquelles il en soit ainsi. Elles constituent alors un soussystème invariant par toutes automorphie. Il en résulte que les involutions sont les mêmes que pour les groupes B; ($ 3}. On peut de même supposer que ba = +1. |
Les racines purement imaginaires sont (2,u) et {a a, et T—2(s —p). Le tableau des autres racines et des cycles est :
| racines EVICIPES | ordre (a, 6] (a, à la, 6 | 0 (&, a) (a, a) (a, a!) 0 Ü (2 te,4 la, 4),(a,4 L (a,a)>{a,a) (a,a),(a,a) 1 (a, 8) (a, B; le, Bi,(@, 8) .(e, 8),t@, 2 eds iei) | (die died, | 2
oo om
1) CHE PTO et LP, :) G, P., p. 70.
Pour que tout cycle soit d’ordre pair ou zéro il faut et il suffit ou bien que g —0 ou bien que p=—s—0,
ii) g—0. L’automorphie est définie par + (ee + 4 = (40 + 19 (&=1,2,...,p) (xc S x æ} = — (xe E— x°)
‘ > ; Hs 2pKT,,.,2ps— 1, x} = — x
Nous avons alors 6ç=p,0—=[—p et 1—2 (sp), donc 0=p—5—-17——1—25s, L’automorphie, exprimée à l’aide des opérations S, est UD Sn ia t,)29,,p3h=90p41,...,1.
(ii) p=s= 0. L’involution est l'identité, et nous avons le groupe réel normal de caractère /.
En résumé, les groupes réels du type C; sont:
(1) les groupes de caractère (— 1—25s)où(l—s)—=0,2,4,...,21[//2]; définis par Les involutions
118,5, ISsyla=1,2,...)p;8=2p+4—0;=0p+1r.,2p4ts— 1).
(ii) Le groupe normal, de caractère !.
2 Les groupes D, (22 4).
Les racines caractéristiques sont!
(£,j) FE (xi — x/)
où 4j=+1,#42,..., +l;it+iet x i=2r,
Les opérations S, sont?
S;,(o) = @—{(m—m;).{{,i) où mi — m;.
Prenons d’abord le cas où {>> 4. Est associée à toute racine {s, j) une seconde racine orthogonale à {i,j}, determinée au signe près, telle que toute autre racine orthogonale à la première est également orthogonale à la seconde ; cette racine est (4,J}. Toute automorphie du système doit laisser invariant l’ensemble des paires de racines ainsi définies. Or,
G)+(i)=2x et (Gi)—-(i=2%; une automorphie laisse donc invariant l’ensemble des quantités x°{4=+1,2,... .., +4. Il en résulte que les involutions du système D,(/>4) sont les
mêmes que celles des systèmes B,, C, ($$ 3, 4). Dans le cas où /—4, M Cuartan a fait la remarque‘ qu’il y a trois
1) PS OGC Pl; pH 2) G.,
systèmes de quantités qui peuvent jouer le rôle des quantités (+ x'), et que toute involution du système de racines doit laisser invariant au moins un de ces systèmes de quantités. Toute involution est alors équivalente à une involution de la forme que nous avons trouvée dans le cas [> 4.
Dans tous les cas, / > 4, les racines purement imaginaires sont (2, u) et (a, a), et T—25(s 12227
Le tableau des autres racines et des cycles est :
racines | cycles | ordre (a, a (0, à la, à ce (a, b) + (a, b) (a, b) 0 (a, &)—+ (a, à) (a, a), te 1 (a, 8) + (a, À (a, 8), (a, Bi, | seu . ; (a, À) + (a, À!) (a, 2), (a, u), (a, #/), (a, (4, a) (4, à) (4, a), (4, a), (u, a), (a), (2 a), (w/, a) Ce
La condition nécessaire et suffisante pour qu’il n’existe pas de cycles d’ordre impair est: soit p—0 soit s<2 et g —0.
(il) Si p—0, lPinvolution est + [x lil 2e 2%, 10) SN | GERS" lg, hdi sgEs=i) ét 0—=9; 605$: Or, T—=2${S 1} donc Ê—l—2s5—2s(s—1)—/—25s.
(il Sis<2 et 9 —0, s—0 si / est pair et s— 1 si / est impair. On peut choisir les coordonnées {x) de sorte que l’involution devienne
QU ce (o= 1 PL a—1l+1—0)
et les racines purement imaginaires sont + {a/,@) (a = 1,2,...,[//2]), au nombre de 2{//2]. L’involution peut s’écrire :
+ | (= 5),e (5 2e) | (us 1,0; 14/21) 2 VE SET (B=1,2,...,[(/41)/2)),
et nous avons
| ={2, 6=((+1)/2) et r—2{/)2) d’où
roU
Il y a alors deux familles de groupes réels : (i) les groupes réels de caractère [[— 25?) (s—0,1,...,/) définis par Les involutions x = x til 2,0
x — x = qg+1,g+2,..,q+s—l); (ii) Le groupe réel de caractère — 1 défini par l’involution xt — je (a=1,2,...,/;a—1+1—a).
Si {—=4 les involations
L L xi= x (a = 1,2) X®—= — x" et = = xiU=,3,4)
sont équivalentes et les groupes réels correspondants sont isomorphes. Ecri- 4 :
vons en effet £’ — te Du (x) — x} où ,j—=1,2,3,4. Le système D, est (EE + éf).et la os involution peut s’écrire Ps; res | Pts =, à
qui est manifestement équivalente à la premiere involution.
