LUS DATES

F—o étant l'équation tangentielle de la surface des ondes de Fresnel (‘), et C — o l'équation tangentielle d’un cercle de centre O et de rayon c dans le plan Oxy.

La surface est inscrite, quel que soit v, dans la développable Circonscrile commune à ce RÉ et à la fie F de Fresnel.

Une vérification intéressante consiste en ce que, pour a—=b=— ec, elle donne, comme celle de la deuxième Partie,

Le k @(P+ m+ nr?) = p? — ve <atkvnp|/1+ PE

VAPR, p?ky

es des 2 + LR ER — De x P + ahonp(i+ JE +.) Véus

akyn\? 2 a n° (pe) + E- 7 =

ou, en négligeant le second ordre k?y°, l'équation tangentielle des ‘ Ky deux sphères de rayon a et de centres + a— sur Oz, obtenues dans

celte hypothèse par M. Boussinesq (?).

(*) Ricnaro, Thèse, p. 9, forme (A).

(2) IL, p. 479, note.

A partir de ce cas limite, a? — c? et b? — c? cessant d’être nuls pour devenir très petits, la surface se déforme, ses deux nappes s’éloignant progressivement de ces deux sphères.

Les distances à l’origine p de leurs plans tangents, si /, m, n sont réduits à être les cosinus directeurs des normales ({? + m°+ n°=1), sont les racines de l’équation bicarrée

(: — a By) p° — Lesçnt+ n')+b(r?+ 2) ci k

ic?

N AE Se =

à > = n° Se En = N S Ê [EF | TS ro]

+ (bel + cam +a bn?) —o.

Nous poserons Mai cr VRP er, (7) | DCS CZ en introduisant les coefficients très petits y’ et y”, analogues au coefficient v’ de la première Partie.

L'écart des deux plans tangents dépend de l'expression sous le radical, laquelle, avec ces notations, devient, au facteur c*k? près,

MN RARE CE ÈCE rm) +v'(n+ P) +wY(E + m)— | 4 ei:

+ 2 (li + my) + 2 ny(v + v- vi" x), CA Gi

Tous les termes sont au moins de l’ordre de y? ou de y y”.

Supposons que, pour une valeur donnée de v, les autres coefficients v" et v” partent de zéro par valeurs d'ordre infinitésimal décroissant jusqu’à celui de w?.

Le premier des termes sous le radical sera prépondérant, et celui-ci ne pourra s’annuler : t{ n’y aura pas de plans tangents doubles.

Supposons ensuite que, la grandeur de y’ et y” croissant, ils atteignent l’ordre de v?. Tous les termes sont positifs si y’ et y’ sont positifs, ec &l n'y a pas encore de plans tangents doubles réels.

Il y en aura dans le seul cas où l’un au moins des coefficients v’ et y’ serait négatif et ils formeront alors, au quatrième ordre près, une déve-

SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. an

loppable circonserite à la surface et à la conique

TU 2 > 19 > 19 a” b? . a b? 3 ; 2 D?

| nd RU © kr (y + 0) En? + C es

du plan de linfini.

Étudions au contraire cette surface en y supposant à, b, c fixes et y variable. Nous pourrons même, vu l'intérêt géométrique dela question, ne pas supposer très petits a?— c?, b?— c?, y,

Nous remarquons d’abord que l'échange de a et b (v' et v’) revient à échanger let m, c’est-à-dire Ox et Oy. Nous pourrons donc toujours supposer & > b par exemple.

C'est ce que nous ferons dans les paragraphes suivants.