II. — Développables circonscrites simples

L’équation tangentielle (26) de la surface peut s’écrire

2 P2 —- By) —(atm+ ve]

Lo (2 m2)] | pt (1 —

La surface est donc inscrite dans les quatre développables

(+ m°)— p?—0, (D,) (P+m)—p = ON Be 7 (BE + M) — p= 0, a) | B(e+ a)2+ a (b+ e)m?+ a bn? — (a? + bp? 0; a? b? i 2 p2 Do Ee FRE (D,) | bPP+ am At 7 my) 0, | n 0; a? b?

b? El + a? m°? — (= kw) =o, (D,) F ä

BP(c+a)P+ a(b+c)m'+ a bn— (a+ b)p—o,

dont les deux premières (D, ) et (D,) sont indépendantes de v.

(D,) est un cylindre de révolution ayant pour trace sur Oxy le cercle de centre O et de rayon c.

(D,) est un cylindre elliptique de même direction ayant pour trace

: ; b sur Oxy l’ellipse de demi-axes > sur Or et ——— # b V /e2 Tue : LR 1 — X2y — f2y?

et ct

sur O y.

Ces deux cylindres, l’un fixe et l’autre dépendant de v, constituent le contour apparent de la surface sur ce plan, et par suite leurs traces en constituent les sections, sous réserve de singularités d'ordre supérieur.

Il est intéressant d'examiner dans quelles conditions ils se coupent réellement, la nature de cette intersection étant visiblement liée, quoique de façon plus ou moins complexe, à celle des singularités de la surface. Or, la réalité de cette intersection exige que le rayon du cercle soit compris entre les demi-axes de l’ellipse, c’est-à-dire, d’après l'hypothèse reconnue suffisante a > b?,

5 ee 2p2?

ou ; 1 — A2y - 1 — k2y? .

Ci C 2 D2 D le 2,2 2 2 b C2 — KR <a — c?, 72 De

On voit, comme conséquence très remarquable, que l’un au moins des deux coefficients, y”, celui qui correspond au plus petit axe b, doit être négatif, et que le second peut l’être aussi.

Ceci concorde avec le résultat obtenu ci-dessus par l'étude du radical et peut, soit inspirer un choix de vérifications expérimentales, soit, du sens de ces vérifications, faire conclure au signe de Ÿ et y’ pour la précision des résultats des Chapitres précédents.

(D) peut être représentée par

avec a(b— c@)P+ bP(a—c)m + a bn— 0,

conique du plan de l'infini resserrée autour de Oz quand HE Gel b? — c? tendent vers ztro.

(D,) peut de même être représentée par

bP + am? — p? (est)

avec

o] 9 2 2 » 9 > 9 1° 9 9 9 Né É D'ART b(c2— b)P + a (c— a )m?+ a? bn? — (a? + FL) nes ‘ ReNARpr == 0":

c* (D,)et(D,) peuvent être représentées, sous forme paramétrique, par

(D;) = L c0s0, m = Lsin:

. ab? ; a? b?

(D,) D peos0| — Kay? —, am = p sin0 p— KEY —; (él C”

Ü ’ . , . nm d’où la seconde équation déduit = en Ô,

Achevons le calcul pour (D,), la plus simple, et indépendante de v:

Nous savons qu'on peut supposer a > b.

Alors HcC -@ 0: 3 ésticeliquelqueson 0 sta #c2102;00

y a pour Ô des limites données par

I I RME FPE.

F C «a Ce tang0 — + — = = 2 I I b DC?

etannulantr;sia >b?>c?, la développable esttoutentièreimaginaire. On peut rapprocher ces résultats de ceux que nous a donnés le rapprochement de (D,) et (D,) pour la forme de la surface. L’arête de rebroussement de la développable s'obtient sans peine sous forme paramétrique. Le plan tangent est en effet

(a) ab(x cos0 + ysin0) + ckz — v'a? cos? 6 — V'b? sin*0 — abc — 0, équation à laquelle il suffit d’adjoindre ses deux dérivées par rapport à 0:

(v"a?— y! b?) sin 0 cos0

(b) ab(— xsin0 + y cosô)+ckz ; — y'a? cos? 0 — y! b? sin?0 (c) ab(— x cos0 — y sinô) br sin ÿ cos Ü er ï 6 (= arcs van)

d’où ckz — va? cos 0 — y’ b? sin? 0 Ge 900) 7 ( LP ) — abc, % d9 \\/— y'a? cos?0 — y'b? sin? 0 (y! a? — y! b?) sin? 0 cos0 ÿ— v'a? cos? 0 — y' b? sin?

(y! a? — y! b?) sin 9 cos? 0

V— y'a? cos? 0 — y! b? sin?0

abax = abc cosO — cks cos0 Ÿ— va? cos? 0 — y' b?sin?0 + ckz

ab y = abc sin 0 — ckz sin Vies vla? cos?0 — y! b? sin?0 — ck3

Les équations tangentielles des traces de la développable sur Oz et Oyz s'obtiennent par l'élimination respective de #» et de L'entre les

équations (D, ) :

(Dh (b— a )ctl + a bc?n?+ b(a?— c)p°= 0, et de même, par échange de a et b,

(D) (a?— b\)ctm? + a b?cen?+ a? (b?— c°)p?— 0.

On voit que le genre et l’espèce de ces coniques dépendent encore des signes des mêmes différences.

Il faut toutefois remarquer que par une telle conique réelle peut passer une développable imaginaire, comme par une courbe imaginaire, dualistique de la développable, peut passer un cône réel.

Cela dit, les trois cas auxquels nous venons d’être conduits donne-

ront :

Cd = 07, (D:): — + — hyperbole, (D; + + — ellipse réelle; DEC EU (D); — + + hyperbole, (Dis: + + — ellipse réelle ; DEC (D: ): — + + hyperbole, (D:)2 A HE L SE ellipse imaginaire.

Le contour apparent de la surface sur le plan y = 0 est de même nature que pour la surface de notre première Partie, dont il n’y aurait qu’à reprendre les résultats.