IV. — Quelques plans tangents particuliers

Le rôle joué dans l'équation de la surface par les trois constantes a, b, c suggère l’idée d'étudier les plans tangents de la forme

(1) aæ+by+cz—p"—=0, o? étant positif ou négatif, mais p étant une inconnue du degré 1 1omogénéilé, e d’homogénéité, et æ 12 z I Il =+S+=—-—o, de a b C (y |

s élant une inconnue du degré o d'homogénéité. 1° Portons les coordonnées du plan (1) dans l'équation tangentielle,

qui devient

(30) (: — BTE) ppt [SC +erattar br) — EE kr |

+ 3a?bc(a? + b?+ c?) —=6.

et formons la partie principale du radical pour es a—= c(1+ VA), 7 Lbt= ati vu}.

: Nous obtenons, comme facteur de c*, en dehors des termes en v,. LC + 3 vu] ki (y! + y )v/v' K6 EE va 8, Ces termes, quand v’ et v”’ partent de zéro, commencent par être négligeables devant le terme en 4?y?, qui s'écrit : vratbei|3 +...

De plus, la somme et le produit des racines o* sont positifs. Les quatre valeurs de P?, et par suite les plans tangents de direction (1),

commencent par être réels. Ces plans resteront réels et distinets dans

tous les cas répondant à des phénomènes physiques où v’ et v”n’atteindront pas de valeurs comparables à v.

Il n’y aura donc pas de plans tangents doubles parallèles à celte Ï Ï 5 [ direction, ce qui est d'accord avec nos résultats généraux. 2° Passons aux plans tangents (IT) donnés par

(Bo five (er C1

1 + V'Æ2 , Roy —— HI +HYU ke? + L +- y" NE Ë [l a ÿ" k°? L [+ y 1+v/Æ

Ms 2 de I k?y? a? b? I ny dr 1 + VA? TVR c° ve TUE

RSS y + v'Æ2 É 4 Ress men (CV) (EE

3 À pK A vl Pre C2 mi n)\|EeS

Si l’on considère y’ et y’ comme au moins du premier ordre, on voit

: I : : , ë que, dans le coefficient de —; les parties du premier ordre se détruisent et que ce coefficient se réduit à — 6 au second ordre près.

e ’ J LA A L ’ È Le terme indépendant de — se réduit de même à + 9, et l'équation : | =

admet comme racines doubles + ÿ3, ce qui est prévu, car, pour b=c— a, l’on doit bien avoir

XL + —+ 3 Rs I 5 V3= 0

pour vérifier l'équation tangentielle de la sphère d(l+m+n)—=p? avec Me C’est donc de (3

que les solutions de l'équation complète diffèrent peu. On peut évaluer, par un calcul assez laborieux, l’ordre de cette différence.

Si v’ et v” sont d'ordre supérieur à y, on peut réduire les racines à

er ne PSE 7 5 Si v’ et v’ sont de l’ordre de v, ces coefficients modifieront simplement le terme en y au numérateur sans en changer l’ordre. V. — Plans tangents singuliers.

Recherchons les singularités tangentielles réelles de la surface en essayant d'annuler les dérivées partielles du premier membre de

e —I[— (b+ c)pt+ be (P+ m'+ n°?)

ab

si. bc? + ca? m° + æ b?n? + KV pt},

re = (e+a)p#ea(B nent) GE + bel + ca m°? + a? b?n°? + 7 RUE Ô | ; . =n[-(e@+b?)p+ a b(P+m+n)+bel+ cam?+ a bn], 1 Q = Sp —=2p$—pla(m+n)+b(r+ 2) + c(2+ m?)]

k2y? p$ + . ke p° (2 + m>?).

Les plans tangents par l’origine (p — o) sont imaginaires, comme le montre ® = 0. Ils donnent d’ailleurs

IL e(2+ m+ nr?) + bc?P+ c'am?+ a bn?] — 0 pour 2 8,

mea (+ m'+n?) + b?cl + c'am'+ atb?n?] —o pour = m

na b(l+ m+ nt) + Bel + cam + æebn]—0o pour = n

(P+ m'+ n?) (b?c2 + cam? + a?b? n°) — 0 pour gd

Si P+m+n—o, ce sont des plans tangents isotropes par l’origine :

SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. 45 a. S'ils vérifient en même temps b?ce?l + cam? + a bn? —o, ils sont bien plans tangents doubles, et déterminés par les valeurs

P La me? 2 70e (bi) B(c— mt) c'(ar—06?)

b. S'ils ne vérifient pas b? c° À + cam? + a? b?n? — 0, ils devraient vérifier. { = mr = n = 0.

2° Sib?c Pl + ca m?+ a b?n?= 0, ils doivent de même vérifier Ê + mm? +n?— 0, ce sont les précédents.

Cherchons donc des plans tangents p =£ o.

= : DE: d0 , do Si nous supposons aussi ? 7 0, la condition Je —0 donne à Fi =0 et + — o la forme om

Il n’y a pas à essayer d'annuler les deux crochets, ce qui, à cause de a-Æb, exige P+m+n—o (plans tangents isotropes déjà étudiés).

Essayons d’abord / = m — 0, ce qui, dans 7 = 0; donne £ nm

RL 2@ bn? — (a+ b)p?—o,

A a Le 2 2)? k 3 ab? v?

TT Lee PONS €

et ne s’annulerait que pour une surface particulière, d’ailleurs imaginaire,

Ci 2 FN 2 ten Annuler / dans l’un et le crochet dans l’autre, ou annuler le crochet dans l’un et m» dans l’autre, cela constitue deux cas symétriques, dont il suffit d'examiner le premier.

Alors

a? bL?

2 9 —=— (a?+ b?)p?+ a b°(m+ n°?) + cam? + a b?n?+ —— k?% p? 2n On ce?

a? b? ab?

— a? mn? (e— da? + a k2 *) se a? n° (0: = a? = a k2 y?

2 1,2 A0: NU 2 ky? p?(p?— cm°)—0

ar(cm+ br) (mme