FRE ON M

YVES KV VI — a:

A cette solution doit se joindre la solution symétrique, par échange de a, l'avec b, m, exigeant une surface où

(33) (a+ ve) ki ke?

Enfin, une surface réunissant les deux conditions (32), (33) exigerait

G+v'kÆ)v"= (1 + v'k2)yl — c* a? b?

it / iii " is (io " c c DE . + ; ; 2 4? 2 k?

La seule solution physiquement admissible est celle qui, correspondant au signe +, est infiniment petite avec y, savoir :

(34) RTE Le et

Mais ce cas a déjà été exclu (a? -£ b?).

AE d: RER Ê La condition T — 0 peut être vérifiée par 7 —0, mais alors

2 b2 J2 y2 3 = | p° er — (bP+ atm?)|[p— c(l2+ m!)].

Il faut donc annuler l’un ou l’autre de ces deux facteurs.

Le second sera étudié tout à l'heure. L’annulation du premier donne

1 do

Se à — | L' ES 2 2 2 2 PET B[—p+c(l2+ m?)], . SEE ma?[— p?+c(l2+ m?)] D Ont 0 1 de s

Si donc nous supposons ce second facteur =£ 0, nous ne trouvons comme solution que le plan {= m = n = 0 de l'infini qui est, en ellet, un plan singulier de la surface, sans intérêt au point de vue physique.

Etudions en détail les solutions n—=o0, p— @(l2+ m?)—=o,

communes à notre surface, à celle de Fresnel, et au cylindre de révolution d’axe Oz et de rayon c. Dans quelles conditions ces plans peuventils être singuliers pour notre surface?

Posons, pour le voir,

ne P

= — cosô, m== Àsin 0, C C

7 j dc et cherchons à vérifier Li , ol dm

7 3 2 p2 0e — e cos 0 Le cos? 0 + a? sin?0— c? (- k2 y? — )| 10,

; 3 ; 21 ne — es sin 9 | 4 cos + a sin9 — 6 (us — )| = 0.

2 om C

Nous obtenons d’abord

T 2e OMS avec D?

déjà rencontré dans une étude antérieure, puis

= Go avec VU V2

également rencontré.

Les facteurs cosÿ sinÜ étant supposés = 0, il reste à annuler le second facteur commun aux deux dérivées, qui donne

bc?— c'+ k2a?b?y° cty" + a? b?y?

tan g? 0 — n 3 1.2 9. 9 NE : 2 RETR= £ ct — a? b?Kk2y? — a? c? a bD?y?c*y Le cas b — a(v' = v") donne tang?0 — — 1, nous ne devions donc pas trouver de solution dans la première Partie.

La réalité de 0 exige que y? soit compris entre — y’ et — v’.

c* On peut supposer a > b, nous l'avons dit.

Alors, la double condition sera

C5) = Ne VA D

Ce sont les conditions trouvées au paragraphe IT par la discussion

dé D yet (Dix