CHAPITRE I

ÉQUATIONS DU PROBLÈME

Il nous reste à généraliser et à compléter les théories précédentes. Nous le ferons en introduisant le système d'ondes le plus général indiqué par M. Boussinesq dans son Mémoire déjà cité (!) (Contribution à l’optique cristalline). Ce système est le suivant :

aë"+fn"+ efl+oa'f + f! + LU (el Cr fr LE .

À - e- l Mo PE boSrdet FE C2bue dE +(PE dE) din D 2 ll 1 mer pet tel ner myl dO e£"+ dn'+ct"+ e'Ë + d'p'+ oc n(dtn el) A

£, n, ( désignent toujours les composantes, suivant Ox, Oy, Oz, du déplacement de la molécule vibrante.

a, b, © sont trois paramètres spécifiques ou propres au milieu,

A, désigne le paramètre différentiel du second ordre de Lamé, 0 la dilatation cubique.

a', b', c’, d’,e’, f’ sont six coefficients de résistance caractérisant l'absorption dont l'étude faisait l’objet de ce Mémoire, consacré aux milieux translucides (et non complètement transparents). Ils seront

Q ! 4 I I Q ! û respectivement égaux à => a des Chapitres précédents.

nuls pour nous.

De plus, la nécessité de les réduire à trois (a', b', c’) obligeait à un choix d’axes coordonnés laissant les six coefficients a, b, c, d, e, f. Au contraire, leur annulation, dans notre étude de milieux tous transparents, nous permet un autre choix d’axes annulant d, e, f. Enfin les coefficients d”, e”, f”, réduits à zéro dans ce Mémoire

(1) 6°.série, t. VAL, 1911, p. 317.

5o L. ROCHE.

(p.326) comme étrangers à l'absorption, vont être au contraire essentiels pour nous et concourir, avec à, b, c, à constituer le système le plus général de notre étude.

Ce système va nous fournir, comme ceux des précédents, quatre Chapitres de mêmes titres.

Le complément annoncé, formant un cinquième Chapitre nouveau par rapport aux deux parties précédentes, aura pour objet d'étendre les résultats de cette analyse, où les ondes planes étaient supposées latéralement indéfinies, au cas de la réalité, qui est celui des ondes planes latéralement limitées, en montrant que les conséquences physiques subsistent.

Nous partons donc des équations

7 IPN AIRES . dû

aë" +(e"£'— f'n) —A,Ë ne

Eur ÉNONRE AIN . dû

(37) bn'+ (f"£— d'£6') —=A,n 4 d8

cé!" + (d'n'—e'£!) = AE — mt

que nous cherchons à vérifier par des solutions symboliques de forme pendulaire "1 LS

E(4—Ixmy—nz) V1 — L' 17 N — Jektt-lx-my-—nz)y DEUE:

où, pour abréger, l’exponentielle sera représentée par E.

Les coefficients L, M, N de M. Boussinesq deviennent ici les constantes réelles /, m, n, coefficients de l’équation du plan de l'onde. L', M’, N', I sont des constantes imaginaires à déterminer. Toute solution du système sera accompagnée de la solution conjuguée et la somme des deux nous donnera la solution réelle et pendulaire du problème.

Je porte ces expressions dans les équations du mouvement, dont la première devient, après suppression des facteurs IE,

— a RL'+ ee" kV— IN —f'AV—IM

= (EE m+ RL + AUÇIL' + mM'+ nN!) ou

o0o—=[—-(2+m+n)+P+a]L+ (em + Vi) M'+ CETEN N7,

SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. 51 Ces trois équations peuvent donc s’écrire | D L'+X M'+Y N'—0, (39) « ®,L'+ X,M'+ UNE O, ®, L' + Ne M'+ VAN" 0:

si les symboles ®, ..., W, ont les significations

D—— (EE mibnt)+ ta | X — Um +vV—1 = nl— y, — 1, (40) D, — Um — v, | —1 Xi=—(l+m+n)+m+b | W,— mn + vV—1, B=nl+v,V—1: Xs= mn — v—1 Y,=—(l+m+n)+nt+ ec avec d’ e/ f ou a — V}, Heu

Les y détruisent la symétrie du déterminant de ces neuf polynomes ®, …, W,, laquelle existait avec ©, .., d, du Mémoire de M. Boussinesq, et vont, d’une part, compliquer beaucoup les résultats, notamment donner à l’équation de la surface des ondes sa forme la plus générale (Chapitre HT), principal objet du présent travail, et renfermant les précédentes ; d’autre part nécessiter, pour le cas des ondes planes latéralement limitées, une analyse un peu différente de celle de M. Boussinesq (Chapitre V). :

Les lignes du déterminant, au lieu d’être identiques aux colonnes, en sont respectivement les conjuguées.

La condition de compatibilité des équations linéaires et homogènes s'écrit |

Se ni) ol) TT (41) 4— a V—T 4 bi+vy—r |=o, d+nv—r W=vy=r Ÿ

en posant Do. OR ATEN Y =D —»V--1, D, p;—v V—1, = Pi=di+v V—5,

(42) NE 1; D—=p+vV—1, X2 = Ya vV— 1, Wir %,

= +uÿ—1, 0