CHAPITRE TI

CONSÉQUENCES PHYSIQUES

I. — Résolution symétrique du système d’équations par le déterminant adjoint.

Le phénomène physique est, ici encore, analytiquement traduit par la forme des trajectoires, c’est-à-dire par la résolution des équations linéaires et homogènes (39), que nous venons de rendre compatibles et qui fournissent des valeurs proportionnelles à L”, M’, N’.

Obtenons d’abord ces valeurs sous une forme symétrique utilisant les trois équations (39), dont aucune a priori ne joue un rôle à part.

A cet effet, adoptant un moment, pour leur déterminant, les notations classiques du déterminant symétrique

A Ie MM TION C'Hphia

nous remarquerons que, dans leur déterminant A, les éléments symétriques par rapport à la diagonale sont, non plus égaux, mais imaginaires conjugués : nous désignerons, suivant l'usage, par b, la conjuguée de b, et nous aurons alors

Apec D: D, a —#, b —Y1+7 V—1, (39 bis) A—|b} a! b | a — y, D=y + vx, b +, a É AETUES b'=y +wV—:1,

On sait alors que les solutions du système (39) écrit, aL'+b'M'+ bi N'— 0, biL'+ a M'+b N'—o, b'L'+ b,M'+ a” N'— 0,

sont les mineurs du troisième degré déduits de la matrice

Ar be Le Dé arra te brel 'ARDE ATEN

avec les signes +, —, +, les paramètres À, À’, À” étant des indéterminées surabondantes. Si nous les prenons égales à /, m, n, nous

aurons L'—/A + mB;+nB',

M'=—/B'+mA'+npB,, N'—!/B,+mB+nA,

les grandes lettres désignant, suivant l’usage, les mineurs de A, pris avec les signes convenables dans le développement de A ou les éléments du déterminant adjoint. Mais ici, en remplaçant les éléments de A par les notations du présent travail, c’est-à-dire (39 bis) par (40) et (42), il vient

(Ann) em =) (e =) G) (A) AE G&? ) (39 ter) By im (ec) —vu—| nl +mnvi-t (-2+ +)» | Vs

b=— nf —b) VU [mn Imy + ee +m+b) “| War

En formant alors L’, remarquons que B+n+n=—, [A]

et que

av +Bnu+yr do, === , &

lo+ my + ny = [A]

0, étant la projection de l'axe de dissymétrie (de composantes v, V1, 2) Sur la normale au plan de l’onde (de cosinus x, 8, y}, toujours

au facteur 7 près (Chap. 1}:

Introduisons en outre les trois coefficients

| I J— —— ZV AL Lo Û st nn Cr

qui ont des sens analogues à v'et v’ de la deuxième Partie. Nous aurons alors

NS

VE 24) Il 1 . !

L'= Lviv, — v— Hay — my, )V—:

NS

= Liv, — a — + d(nfBr,— myv,)V—1

G) et, par permutations circulaires, M’ et N’, que j'appelle

= 4H AVE M'—m'+m, VER NES nr et, par suite, El + y) ekt-te-my-ns TL VE,

dont on doit prendre la parte réelle

Pi Cos6 = T/sin0.

n—= 1m! cos0 — m' sin,

E— n'cosû — n'sin0.

C’est la forme la plus générale d’une vibration elliptique. Nous n’en poursuivrons pas l’étude : on la particularisera dans les hyÿpothèses fournies par l’expérience. Nous nous bornerons aux remarques suivantes :

I. D'abord, les propriétés du déterminant adjoint (") se traduisent par les formules ci-après, qui, pour le cas de b, = b, b, = b’, b, =b”, réels, donnent celles qu’on utilise dans Pétude de l'équation en S des

(!) SaLuo, Algèbre, p. 45. Gauthier-Villars, 1890. R. 8

quadriques A'A"— BB,=a A=o, BRAIN 3, B’ — À B EE D, a Oo

et deux autres groupes par permutations.

Alors, en introduisant les modules, puisque A, A’, A"sont réels, | A'A'=|B /?

| 1B11B"1= AB] et les autres qui constituent, entre les modules, les relations mêmes du déterminant symétrique. Alors, les valeurs proportionnelles

ON TEEN et leurs conjuguées

Re Be

donnent, en multipliant membre à membre,

[UE ‘Je NP

NC CAR RE ou FN EN (BBC TE OR) DER

Il. Les expressions L’, M', N' contiennent les deux systèmes de coefficients à (et sa projection à,) et (v', v’, v,).

Mais /', m', n' sont composés de deux termes du second ordre, l’un par rapport à (v', v!,v,), l'autre par rapport à à.

Au contraire, l,, m,, n,, Sont composés d’un seul terme produit de à par un facteur du premier ordre en (v/, v:, v,). D'où l'interprétation de ces résultats dans deux cas opposés.

Le premier est celui des expériences étudiées dans la première et la deuxième Partie, qu'il contient comme cas particulier. C’est celui où a, b, © sont peu différents et où, par suite, les racines = de l’équation (44) aux vitesses en diffèrent peu. C'est le cas où y’, v!, y, sont très pelits, et même, dans la réalité, d'ordre supérieur à à. Alors, /’, m', n'" sont d'ordre 2 et /,, rm», n, d'ordre supérieur à 2.

Le second, tout à fait nouveau, est celui où les différences de a, b, c

L I L he . « entre eux (et par suite avec à) seraient finies par rapport à l’axe de on [

dissymétrie à, supposé du premier ordre, c’est-à-dire où v’, v! seraient finies.

Alors, l', m', n' sont finies, et /,, 2», n! du premier ordre.

Pour pousser plus loin l'étude de ces deux cas, nous allons renoncer à la symétrie observée dans ce paragraphe, et prendre par exemple les deux premières équations, isolant ainsi l'axe Oz, ce qui donnera les projections des trajectoires plus facilement sur Oxy, et obtenant