Propriétés générales

L’équation tangentielle de la surface des ondes n’est autre que la condition de compatibilité mise sous sa dernière forme (43) en /, mm, n. Si nous la rendons homogène, en écrivant le plan de l’onde sous la forme x + my + nz3 = p, elle devient

(94) o=pt—p[(b+c)P+(c+a)m'+(a + bn] + (bel + cam +abtn)(P+ m+n?)

| fai. Bi 7i) — d?p? LP ( PTE ee (P+m'+n)+(al+bim + | homogène de degré 4; a, b, c, p, à de degré 1; «,, B,, y1, /, m, n de degré o.

Pour x, —8,—0, y, —1,3—ckv, on retrouve bien l'équation de la seconde Partie (Chap. IV).

Cette équation très générale peut encore s’écrire, comme dans cette

seconde Partie, o6—F—0dp?C —0o,

F — o étant l’équation tangentielle de la surface des ondes de Fresnel, et C — o l'équation tangentielle d’un cercle, dont nous allons fixer les éléments un peu plus loin.

La surface est d’ailleurs circonscrite à la surface de Fresnel le long de sa courbe de contact avec le cône imaginaire de sommet O.

Elle admet encore l’origine pour centre, étant vérifiée par (— L, — M, —n, —p), mais elle n’admet plus les plans coordonnés pour plans de symétrie.

Si l’on considère un plan {x + my + n3+ p = 0 tangent à la surface de Fresnel et au cercle, on a, pour son point de contact avec notre surface F — ?p?C — o, les coordonnées

Eve. 00 ST: US OT es

Quand notre surface varie avec à, son point de contact avec ce plan décrit donc la droite qui joint les deux points

dE 0F d0F dc Fe 4 HN om NS RE TANT STE Da Ga 600 ET ETES op Op op FORM PETER

Revenons au cercle dont l’équation tangentielle est E = o. Il a pour centre l’origine, son rayon R est donné par

c’est-à-dire est le demi-diamètre de direction («,, 8,, y,) dans l’ellip-

soide

ce qui en fournit une construction géométrique simple. Enfin son

plan est QE + BY + Y1S—=0.

Ces résultats, d’ailleurs classiques d’après l'équation

CE —(e+ m°+ nr) +(oi+kfim+yr)—o,

se vérifient sans peine de la manière suivante : 1° Les plans tangents de direction

= mi 0 n = y;

sont donnés par la solution double p*= 0. C’est le plan du cercle.

2° Les plans x'æ+f$By+y:—-R=o avec a+ Gr+y—r et ax + B,B'+ V0:

“c'est-à-dire à la distance R de l’origine et perpendiculaires au plan du cercle, vérifient l'équation.

3° Tout plan

AC + By + 13) + ax +B'y+yz— R= 0

mené par une tangente au cercle vérifie l'équation quel que soit À, car

1— [(Aœ + &') + (AB: + B') + (y + y)] + Lou (Aou + à) + BOB +6") + ny +y)P=r- —i+M=o,

La surface est donc, quel que soit le coefficient de dissymétrie à, inscrite dans la développable circonscrite commune à ce cercle C et à la surface F de Fresnel.

Dans les phénomènes physiques, à étant très petit, elle est voisine de la surface de Fresnel. Si à varie d’une façon quelconque, elle engendre le faisceau tangentiel défini par F et C.

Une question naturelle à se poser est celle de savoir si le cercle peut être sur la surface de Fresnel, pour vérifier si notre surface peut être circonscrite à celle de Fresnel suivant ce cercle, la développable circonscrite commune ayant alors ce cercle pour courbe de contact.

Or on connaît sur la surface de Kresnel les trois cercles qui font partie de son intersection par les trois plans coordonnés, et qui ont respectivement pour rayons &, b, c. Le plan de l’onde est alors l’un des plans coordonnés, et le rayon (x'B’+") varie dans ce plan, par

exemple L=P=y-S, A —1, DATE.

(La surface de Kresnel n’admet pas d’autres cercles de centre O, comme il est facile de s’en assurer sur son équation ponctuelle, en la coupant par une sphère x? + y?+ 3? = s?. On est ramené à des sections cycliques de quadriques, lesquelles ne sont réelles que dans les

cas précédents.) Pour que le rayon du cercle soit égal à l’une des trois longueurs a, b, c, par exemple, il faut qu’on ait 1 Se: 8

a et t

ou p° 2 RE

cequiexise bai > c;

Et de même pour les autres. Le rayon correspondant ne peut donc être égal qu'à celui des trois a, b, c qui est compris entre les deux autres, et la direction du plan de l’onde est alors donnée par les for-

mules précédentes.

C’est ce que nous avons obtenu dans la deuxième Partie avec c.

Quel que soit 5, notre surface admet comme plans tangents ceux

qui vérifient à la fois (æ), (B), (y) :

(a) ai+fim+ nn (B) p(+S+ien)-(emen)=e,

«9, 8,9, y. sont les coordonnées du point S où 1ls coupent l’axe de

dissymétrie, ce qui permet d'éliminer {+ m°+ n°? de l'équation de la surface, d’où, en supprimant encore le facteur p?°,

I a? 2? 2 (SD = (ar ba as)pt (es + — 5. + 1) + @P+ bm?'+ cn? 2 2 2 + (bel + camt+ a bnt) (2 + À 4 EE ak ü), DS LE 5 e ou

- œ2 2 2 (y) (2+#+ +) (bel +ca m'+a bn?) +al + b?m?+cn?

+pli-(e Fr 0 e)(= + ++ h)lee.

p° 2 b> ce Ce sont donc les plans tangents communs à deux cônes du second degré, de sommet commun S(x), circonscrits à la sphère (B) et à l’ellipsoïde (y) qui admet comme plans principaux les plans coordonnés. Comme ces cônes dépendent de p, ces plans tangents communs définissent une développable fixe, indépendante de à, à laquelle sont inscrites toutes nos surfaces quand à varie. On simplifie un peu ces équations en y introduisant le rayon R de la sphère (6) donné par 1 Ù He NES

R° — pi Dee ct

Elles deviennent alors

(æ') œl+Bim+yin ——p (B') R(2+ m+ nr?) —p?— 0, ; bac? ca? L (7) (+ +at) 84 (TE + 0) CON ï a+ b+ c?

2 CAPE = + (Te +e)n A RSR TU =

L’ellipsoïde (y) est réel pour

a+ b+ ce?

ou 1,4, en pe | æ CORNE Le rang x rene II. — Quatre modes de génération

et deux représentations paramétriques de la surface.

Sur l'équation tangentielle se lisent plusieurs modes de génération de notre surface comme enveloppe de diverses séries de développables, de même qu’au point de vue ponctuel une surface peut être considérée comme le lieu de diverses séries de courbes.

Premier mode de génération. — Ecrivons l’équation tangentielle ainsi o—=(2+ m°? + n°) [bel + ca?m°+ @bin— (a+ b?+ c?)p?+ 0p?]

+ p? Len bm+ cn?+ p— 09 (al+ Bim + Jin) or (Ë PRE 2) |

La surface est alors l'enveloppe de la développable (au paramètre 5) circonscrite à la sphère

et à la quadrique

(56) b2c?P+ cam + ab?n?— (a+ b?+ c?) p? + d?p° + r? ler bm°?+ cr? + p?

2 2 2 — (œil + Bim+ ny pr (£ rie + 2] 6,

Quand à varie de zéro à l'infini, cette quadrique varie de l’ellipsoïde (b'c?+ ar?)l+ (c'a?+ Br°)m?+ (ab?+ cr?)n?—(a + b?+c—7r?)p" =),

au couple de points

(œl+BGim+yin) + p?|r? Chr 1|—0.

Ce mode de génération est une extension du mode analogue pour la surface de Fresnel (à — 0), qui ne paraît pas avoir été remarqué, au moyen de la sphère et de l’ellipsoïde que nous venons de former. Cet ellipsoïde est réel si r? << a? + b?+ c?, c’est-à-dire si le rayon de la sphère est inférieur à la diagonale du parallélépipède rectangle circonscrit à l’ellipsoïde

qui donne la surface de Fresnel par la transformation apsidale. Ces deux ellipsoïdes ont les mêmes directions d’axes.

On remarquera que, dans tous ces modes de génération, si P+ m?+ n° =1,r représente la distance de l’origine au plan tangent à la surface.

Deuxième mode de génération de la surface, comme enveloppe des cônes circonscrits, de quatrième classe, ayant pour sommets les points de l’axe (x,, 6,, y,) de dissymétrie :

Un tel sommet (,9, 8,9, Y,o) a pour équation tangentielle

(57) apl+Biom + yipn +p—o,

ce qui, en remplaçant à, {+ B,m + Y,n par — 3 donne pour deuxième surface, définissant le cône variable avec b, (58) f—=(l+m+n)[bte PE ca mt+ a bn (a+ br+ c°)p?+ dp?] +p[ar+ btm?+ ctn+ pt — à — à pr (5 - pi LE t)]= 0. P g Cette deuxième surface admet comme plans de symétrie les trois

plans coordonnés, ce qui n’arrivait pas pour la surface des ondes, par suite de la disparition des termes (x, /+ 6B,m +Y,n}. C'est là l'intérêt

de ce deuxième mode de génération, qui condense en quelque sorte la dissymétrie dans le sommet de ces cônes.

Pour à — o, elle devient la surface de Fresnel indépendante de B) qui définit ses propres cônes circonscrits de sommets alignés sur la direction quelconque (x,, B,, y,) issue de son centre.

Pour à Zo fixe, quand cette surface varie avec e, les points de contact M, M’, ... des plans tangents parallèles à une même direction (l, m, n), p variant seul, sont donnés par

A 4 re pe L- TÉRRCRRRT ET dt dm On op

c'est-à-dire sont alignés sur un même rayon issu de l’origine, p n’en-

: df

trant que dans er Peel epcadant de l, | Me | ais, ns épendant aussi de /, m, n, le rappor onr varie avec la

direction . plan tangent et la surface ne reste pas homothétique à elle-même.

Elle varie, à partir de la surface de Fresnel, avec à et 9, comme notre surface des ondes, mais plus simplement, puisqu'elle conserve les trois symétries par rapport aux trois plans coordonnés.

Elle est inscrite dans les deux développables circonscrites d’une part à la surface de Fresnel, et d'autre part à la sphère

£ 1 ÉRT

(59) E+mnt— (+ 2 ps à 21) pt 0,

et à l’origine, ce dernier cône étant compté deux fois, c’est-à-dire sa courbe de contact étant celle de la surface elle-même de Fresnel.

Troisième mode de génération, résultant du rapprochement des deux premiers, et fournissant une représentation paramétrique de la surface.

- D’après les deux modes de génération précédents, notre surfacé admet comme plans tangents tous ceux qui, dépendant des deux paramètres 7 et 9. vérifient les-relations--— De er |

(60) Dar te Ta

(61) el+Bim+in=— (62) bc? + c'am°?+ a b?n?— (a+ b?+ c?— à) p°

a? 2 AE e 2 “eye a+ been pie (fi + Pr H)-#Ë — 0.

18 : = A ; LOT f Si l’on résolvait ces trois équations par rapport à D AE en fonc-

tions des deux paramètres r et p, on aurait une représentation para-

métrique, non pas du point, mais du plan tangeñt | de la surfate, Jes

deux paramètres ayant la signification géométrique définie à propos des deux premiers modes de génération : r est la distance du plan tangent à l’origine, pest la distance de l’origine au point @ù ii rencontre l'axe de dde optique. | Press |

Pour la surface de Fresnel, M. Darboux a donné une représentation paramétrique (*) où l’un des paramètres « est notre r?, l’autre $ étant le carré du rayon qui va de l’origine au point de contact du plan tangent considéré. Pour la résolution de ses équations par rapport aux coordonnées ponctuelles et tangentielles, il introduit deux nouvelles variables &’, B'.

Nous allons effectuer ici la résolution par rapport à nos coordonnées

. CRTITEETE . : ; SE tangentielles FR A introduisant une variable auxiliaire 5, de

degré 1 d’homogénéité comme les autres, définie par a U+ bm'+ cn—

qui ramène la troisième équation à

(63) b?c2l+ c'am?+ ab?n?

2 2 2 = pt attente (ai ea Earl = p'ô(o,p,r),

en désignant par Ü la fonction des variables ©, p, r représentée par l’accolade et qui est du deuxième degré d’homogénéité. ES

(*) Leçons sur la théorie générale des surfaces, 4° Partie, 2e fascicule,

SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. ne)

ñ . Chat Ê ù L je Le 2 Ces deux équations, jointes à {+ m°?+ n° — Ê et linéaires en À,

m°, n°, se résolvent par les formules

Nha" b? ce |—=(b—c)(c—a)(a— b?) Bora cinq? b?

(de degré 6 d’homogénéité), | :

c? ) db ct) — a?9(b?— ct)

| 6 nn ab?