III. — Contours apparents de la surface

1° Sur les plans coordonnés : il suffit d’en prendre un, sur le plan des xy, les autres s’en déduisant par permutation; c’est la trace du cylindre circonscrit parallèle à O3 ;

2° Sur le plan perpendiculaire à l’axe de dissymétrie optique

(2e Lie DE

1° Cylindre circonscrit parallèle à Oz. — Il suffit de faire n — o dans l'équation tangentielle : on aura celle de la trace du cylindre sur

le plan des y. Il vient ainsi o—=pi— p'[(b?c)P+(c+ a )m]+c(bP+ aim )(l2+ m!)

— 0? p? Lr° (+5. + ni) (PE + m2) + (oil + bi m}| de

qui, pour à — 0, donne bien o—={[p?— c(2+ m')][p?—(am?+ b1l2)],

c’est-à-dire le cercle et l’ellipse de section de la surface de Fresnel par ce plan qui est pour elle un plan de symétrie.

Cette courbe de quatrième classe admet l’origine pour centre, mais n’admet pas les axes Ox et O y pour axes de symétrie.

Elle admet comme tangentes, quel que soit à, les quatre systèmes de quatre tangentes communes aux quatre couples de coniques

2(/2 ne — (69 bis) a HET

- a. RS

b? Re m?— p= 0, H=—10$

BE + a m?— p?— 0,

p° (£ SE + 1) —(P+m )+(aul+fB;im} —o.

Les équations (70) peuvent d’ailleurs être remplacées par e(2+ m?)—p=0,

- 1 2 2 2 (70 bis) je (+ SE) + Gut+ Bi) 2— 0,

dont la seconde représente le système de deux points |

a? 1— y; at+bimep|/ 55 + ci

Ces quatre tangentes communes sont issues de ces deux points au cercle représenté par la première de ces deux équations.

La seconde des équations (72) représente l’ellipse projecuon du cercle C sur le plan des xy.

78 L. ROCHE, 2° Cylindre circonscrit parallèle à l'axe de dissymétrie optique (a, B,, y.) donnant le contour apparent sur le plan perpendiculaire. Ses équations tangentielles sont ul+Bim+yn—=0o, o=pi— p[(b+c)P+(c+a)n+ (a+ b)n] +(bce8+ cam + a bn)(l+ m + n),

2 et 12 CO

dont la seconde est celle d’une surface (Z), inscrite dans ce cylindre (et, par suite, le définissant), qui présente sur notre surface des ondes l'avantage d'admettre les trois plans coordonnés comme plans de symétrie, par disparition du carré (x, [+ $5,m+7Y,n) qui détruisait la symétrie.

Cette surface est très remarquable et se prête à une étude plus facile que notre surface des ondes, dont elle constitue une sorte d’approximation et dont elle indique la forme générale, au moins dans la

direction Go sh

Étude de la surface (£). — On peut d’abord en donner les deux représentations paramétriques que nous avons indiquées, 9 disparaissant, et avec p la condition surabondante.

On a, pour la première,

(74) 0=a+b+c— ++ qe (+4 di)

a € LL [ d'(B+ c'— «°) cor L' E (—æ&)(@— 0)

CS Re nn p :

Kg, 4 ET ÉPPRS RU EPR Eee :

aux paramètres retc; et, pour la seconde,

(76) Celaia ei 7, co(f4 tion), 1 ri re l 2 1 nà ES (77) RE a? —#—4aotr Fr) Pr Vene-nVtr |

SURFACE DES ONDES ET POLARISATION. 79 aux paramètres 7 et t.

La seconde revêt une forme assez intéressante

À vus # a) se NES >| os (£ PRE el 7? a rè D Gi

qui, pour la surface de Fresnel (à — 0), redonne celle que nous avons obtenue et rapprochée d’un résultat de M. Richard.

On peutensuite en chercher les plans tangents singuliers en annulant les quatre dérivées partielles

= 2p?—[(b+ce)P+(ce+ a)m'+ (a+ bn] rte la 62 y? | 2{ 72 2 Nes De less ler 11 :

+ D(P+ m'+ n°) op (As fs) Dr c)p°+ bc(P+m'+n?) + (bel + cam + ab?n) + dpt]!

et DRE au 2 0m 2 On

par permutations circulaires de a, b,cetl, m,n.

1° Cherchons d’abord des plans tangents singuliers par l’origine df . : FRS (p=o annulant a) ce qui empêche qu'on ait alors à la fois [=m—=n—o, et exige F+m'+n#o sil s'agit de solutions réelles.

df __ df

ee Tr = 0 donnent

a. Alors supposons d’abord {mn = 0.

bc(E+ m'+n?)+ bel + c'am'+ a b?n— 0, cæ@(P+m+n)+ bel + ca m'+abin—o, bP(P+m+nr)+bel+ cam'+ a bn —o,

système impossible si a?, b?, c? sont différents, ce qui est notre cas général.

b. Essayons ensuite »m = n = p — 0,10, ce qui donne

He oO © Op. +?

d ie nr. à PA, D 5 se réduit à L2b?cPl= 0; donc impossibilité encore, et de

dl même pour ?—={—=p=0 etl=nm= pe 0.

ce. Essayons enfin {m =£ 0, n — p = 0, ce qui donne

of of on dp Alors Of (4 9 22 72 + eu ST. = 0 donne b'c(P + m)+ bel + cam —o, Of ‘ 9 > FA À 2 a donne ca (+ m')+ bc l+ cam —o,

impossible en solutions réelles, et de même avec / = o où m— 0.

2° Cherchons en second lieu des plans tangents doubles ne passant pas par l’origine (p £ 0).

a. Supposons d’abord {mn -£ 0. Alors les quatre équations

CEE OR ol om on op

s’écrivent

bBe(P+ m+n)+(btel+ cam+ a bn?) + p[—(b?+ ce) +d]—o,

c'@(P+m+n)+(bel2+cam+a@btn) + pP[— (ce + a)+2]—o,

a b(2+ m?+ n)+ (bel + ca m'+ a bn?) + pt[-— (a+ b)+d]—o, al bm'+cn—(a+b+c—»)(P + m+n?)

a? fa 2 yi à:

et leur déterminant, par rapport aux quatre combinaisons des in-

connues

(P+bm+cn), (P+m+n), (b@2P+ ca m+ a b?m}), p?,

se réduit à

—(b?— c)(c— a)(a— b?), = 0 dans notre cas général; il est donc indépendant de à, ce qui est assez remarquable. On aurait donc p = 0, ce qui exclut ce cas.

b. Essayons ensuite m — n — RES URES y uite Mu | o ({p 0), qui rend Im = 52

Alors

of — d D? 2 9 9 9 9° Co

Ta onne + 20?cl — p(b?+c— — 0,

Ô 2 2 2 AIN = donne — (b+c— D) 2 + pi (S + É 2) ]=e,

ce qui exige qu’on ait

Se ea es + sue if Es ÊLR)] (4er 0) 0

tr b? c?

2 A? 2 — (b2— ce} + 29 LE c?— 2 b?c? (£ ocre “| — 0*— 0. pr

Ceci n’a rien d'absolument impossible & priori, même dans les hypothèses physiques, car à, comme nous l’avons vu, peut être de l'ordre de petitesse de b? — c?. Cela revient, avec les notations de la deuxième Partie, à supposer v de l’ordre de v”.

Nous avons dit toutefois que les nome connus conduisaient à supposer plutôt y” d'ordre supérieur à v, c’est-à-dire b? — c? d'ordre supérieur à à, auquel cas le terme principal de la condition ci-dessus deviendrait Le second et entrainerait la conséquence

ina) C’est un cône de directions à donner à l’axe de dissymétrie pour réaliser cette singularité.

En revenant à l'hypothèse la plus générale sur a, b, c, à, on voit que la présence des trois couples de plans tangents singuliers parallèles à Oyz, Ozx, Oxy exigerait qu’on eût

* a? 2 2 — (b?— c?)? + 2 0? [ue a bte ( > pi + 2 )]-o=0, rs b? c?

a? 2 NS — (c? — a? }? + 2 d Let+ eu AÈt ce 4) ]-2=0 L NE NRC B;

— (a — BP} +20 [a+ b?— 2a?b°?

Ceci exige l'égalité du quotient