INTERSECTIONS MUTUELLES DES SURFACES DES DIFFERENTES SERIES

1° Surfaces de la même série. Deux surfaces de la même série ayant huit points communs, leur intersection passe par ces 8 points. Elle ne présente, en général rien de particulier.

Soient :

À^PQ + /H + RS = a»PQ + uH + RS =

les équations de deux surfaces de la même série ; Télimination de H donne :

y.uPQ — RS =

donc rintersection de 2 surfaces quelconques d'une série est toujours située sur une 3* surface passant par le quadrilatère gauche fixe, dont les côtés consécutifs sont :

2° Surfaces de deux séries associées. Deux surfaces de deux

séries associées se coupent suivant un quadrilatère gauche.

On peut s'appuyer pour la démonstration, sur ce que les

deux surfaces n'ayant aucun point singulier commun, leurs

g lignes de contact avec la surface des ondes se coupent en ^

ou 4 points. En ces 4 points, les surfaces se touchent, ce qui exige qu'elles se coupent suivant un quadrilatère gauche. Il est visible, du reste, qu'en chacun de ces points, passent deux bitangentes (une de chaque congruence) commune aux deux surfaces.

Le raisonnement suivant ne s'appuie pas sur le nombre des points d'intersection des 2 biquadratiques de contact.

Désignons toujours par C, et C, les- congruences auxquelles appartiennent les génératrices des deux surfaces, par S et T ces surfaces.

Soit M un point commun à S et T, D^ ^, les deux droites de la congruence C^, D, a, les deux droites de la congruence C„ qui passent par M. Par M passe une autre surface S' de même série que S et une T de même série que T.

Comme S et S' ne se coupent pas suivant des droites, il faut admettre que si D, et D, sont sur S, a, et a, sont sur S' ; alors pour les droites situées sur T, il faut choisir l'une des combinaisons D, A, ou D, A, ; dans les deux cas T aura avec S une première génératrice commune. Cette génératrice, que nous pouvons supposer appartenir à la congruence C, touche la surface des ondes en deux points A etB, par A passe une droite de la congruence C,, évidemment commune aux deux surfaces; de même par B. Le reste de l'intersection est alors certainement une droite de C,.

Les quatre sommets ABCD du quadrilatère gauche commun aux deux quadriques se déduisent de A comme il suit : B est le foyer du plan tangent en A à la surface des ondes par rapport au l^'' complexe ; D est le foyer du même plan dans le 2"^ complexe; enfin, C est le foyer du plan tangent en B dans le 2^ complexe, ou du plan tangent en D dans le ^*^

Surfaces dont les génératrices appartiennent à la même congruence pour un seul système seulement.

Nous avons vu précédemment que ces surfaces ont quatre points singuliers communs. Dès lors, leurs courbes de contact avec la surface des ondes n^ont que deux points communs A et B. Par A passe une droite de la congruence C, (congruence commune) qui appartient évidemment aux deux surfaces. Dès lors, le point D est le point où cette droite coupe de nouveau la surface des dndes. Les deux surfaces ayant ainsi une génératrice commune AB se coupent suivant une cubique gauche.

Surface dont les deux systèmes de génératrices appartiennent à des congruences différentes.

Deux surfaces de cette espèce ont en commun, quatre points singuliers, comme nous l'avons vu. En dehors de ces points, leurs courbes de contact avec la surface des ondes ont deux points communs A et B ; en ces points nos deux quadriques sont tangentes, et comme elles n ont pas de génératrices communes, elles se coupent suivant deux courbes planes.

On peut aller plus loin, en considérant 3 surfaces appartenant au même tétraèdre de Gôpel. (Voir Humbert, Mémoire cité).

Considérons les 3 surfaces )