A = >«QR + /(-) + PS

(1) B 1= a«RP + .C/.W + QS = o

c = v>PQ -h Ih -h RS =

si Ton élimine h entre les deux dernières équations on trouve que les deux dernières quadriques se coupent suivant deux courbes planes situées dans les deux plans.

52 J. HICHAHD

(2) :^R — vQ = ; uvP — S -

de même la r*= et la 3* se coupent suivant deux courbes planes situées dans les plans :

(3) vP — m = ; v>.Q — s =

enfin la première et la seconde se coupent suivant deux courbes planes situées dans les plans.

(4) ).Q — ^P = ÀaR — s =

on peut remarquer d'abord que les trois premiers plans (2) (3) (4) se coupent suivant une même droite :

Les six plans passent d'ailleurs par le point, pour lequel on a :

Ainsi les trois cordes de contact de ces trois surfaces prises deux à deux sont concourantes.

Il est facile de montrer de plus que ces trois surfaces sont circonscrites à une même quadrique.

On voit sans difficulté que si Ton pose

T = uvP — vXQ — VR + S

Texpression — i^x A + T* ne change pas quand on y permute simultanément hxy et PQR. Si on appelle V cette expression, Téquation A = opeut s'écrire V — T' =o.

Si Ton pose de môme

T' == — avP + v>Q — luR + S T" = — avP — vXQ + >aR + S

les équations B = o C = o s'écriront respectivement :

en sorte que nos trois surfaces sont circonscrites à la quadrique

V=:o. Les plans des trois courbes de contact sontT = o T=o

ÉTUDE PAimcnLlÈRE DES QUADRIQUES RÉEJ.LES

Les cjuadriques dont les génératrices appartiennent à deux complexes imaginaires non conjugués ont des équations à coefficients imaginaires, car en changeant i en — i ces quadriques doivent se changer en d'autres dont les génératrices appartiennent aux complexes conjugués des deux premiers et, par conséquent, ne se changent pas en elles-mêmes.

Nous allons étudier, d'une façon plus spéciale, les quadriques ayant leurs systèmes de génératrices dans deux complexes imaginaires conjugués.

Nous prendrons, par exemple, les deux complexes qui au point xyz font correspondre les deux plans.*

ai[x — x'] -f yz' — zy'- = o — ai\x — x'] + yz' — zy' = o

Nous savons déjà quels sont les points singuliers par lesquels passent les quadriques de chacun des deux systèmes considérés. L'un des systèmes contient les points singuliers du plan x = o et du plan de l'infini, l'autre contient les points singuliers situés dans les plans j/ = o z~o.

D'où le théorème suivant. Les quadriques de l'un des systèmes sont toutes de révolution, les quadriques de l'autre système ont toutes mêmes directions de plans cycliques, à savoir les directions de plans cycliques de la quadrique

En effet, les quadriques de l'un des systèmes ne passant pas par aucun point singulier à l'infini sont toutes bitangentes au cercle de l'infini, c'est-à-dire de révolution. Les autres passent par les 4 points où l'ellipsoïde aV + by + ^'-* — K = o coupe

le cercle de rinfini. Elles ont donc mômes directions de plans cycliques que cet ellipsoïde.

Les quadriques de révolution sont toutes concentriques à la surface des ondes, et leurs axes sont dans le plan x^o, les quadriques à plans cycliques fixes ont toutes leurs centres sur OX et leurs plans principaux parallèles aux plans de coordonnées.

Considérons d'abord les surfaces de révolution. Les huit points par lesquels elles passent étant deux à deux symétriques par rapport à Torigine, il est clair que l'origine doit être le centre. Ces 8 points étant symétriques deux à deux par rapport au plan de coordonnées x=:n qui ne les contient pas, ce plan doit être un plan principal. Ce n'est pas le plan équateur de la surface, caria section de la surface par ce plan ne rencontre pas le cercle de Tinfini, c'est donc un plan contenant les axes de toutes les surfaces.

Considérons maintenant les quadriques à plans cycliques fixes. Comme elles coupent le cercle de Tinfini, en quatre points fixes, leurs directions principales sont fixes. Ce sont celles du cône aV + b'if + c'z' = o, c'est-à-dire celles des axes OX OY OZ. Comme les quatre points singuliers du plan x = () sont symétriques deux à deux par rapport à OY et à OZ, deux plans principaux passent par ces droites. OX est donc un axe, et le centre est sur OX.

Nous allons chercher les équations de ces surfaces, en commençant par celles qui sont de révolution.

Prenons une surface passant par les quatre points singuliers à Tinfini, et ayant son centre sur OX.

Exprimons que cette surface est coupée par le plan x = o aux quatre points situés sur les deux courbes

on voit sans peine qu'il faut que on a alors Téquation :

Il ne faut plus alors qu'une seule condition pour exprimer que celte surface est circonscrite à la surface des ondes. Écrivons, par exemple, que sa section par le plan j^=:o touche le cercle x* + y* =c\

Faisons z = o dans Téquation de la surface ; remplaçons ensuite if par c' — x' et écrivons que Téquation en x ainsi obtenue à une racine double. On trouve sans peine

comme x est un paramètre arbitraire qui peut être positif ou négatif on peut écrire sans mettre de double signe.

on a alors Téquation cherchée

Le résultat obtenu est susceptible d'une vérification immédiate, car l'enveloppe de ces quadriques s'obtient de suite et l'on retrouve la surface des ondes.

Il n'est pas sans intérêt de former l'équation tangentielle de ces quadriques, pour constater qu'elle a une forme analogue. On trouve sans peine :

en posant pour abréger

On pourrait procéder d'une façon analogue pour trouver l'équation des surfaces de révolution, mais il vaut mieux faire

une transformation changeant les surfaces précédentes dans celles que nous cherchons.

On peut poser :

iby* ta,r' ah

puis, pour éviter les imaginaires et ne pas détruire la symétrie de Téquation, on posera:

On trouvera alors, après un calcul facile, en posant toujours pour ahréger :

K = ^/(a» — lr-)(a^ —c-) a'(\ -f- ;z«)x« + (a* -h by)y* + (c* -h ay)z' — a»(c« + hy) — 2yK//v =p

OU en mettant en évidence que la surface est de révolution.

Remarque. — Les équations précédentes sont mises sous une forme où il n'entre pas d'imaginaires quand K' est positif, c'est-àdire quand a n'est pas l'axe moyen. Si a est Taxe moyen il faudra pour avoir des coefficients réels, changer x en i\ et a en ?>.

On peut encore faire, relativement aux surfaces de révolution la remarque suivante :

La méridienne de cette surface, dans le plan x = o touche le cercle de rayon a de ce plan en deux points A et A' qui sont évidemment des sommets de la surface, c'est-à-dire les extréniités de l'axe de révolution. Le lieu de ces sommets est donc ce cercle, et l'axe de révolution conserve une longueur constante.

(jéiiératrices rectilignes. — Je vais chercher les génératrices rectilignes des surfaces à plans cycliques fixes. Cela fournira

une vérification a poUériori, de ce fait, que ces génératrices sont dans une congruence de 2*" ordre, et ce qui est plus intéressant, cela fournit les coordonnées d'une droite de cette congruence en fonction de deux paramètres.

En employant la méthode ordinaire de décomposition en carrés, après avoir multiplié toute Téquation par a^ — ^*^\ on trouve sans difficulté les équations d'une génératrice sous la forme :

x(a^ — A») — /K + aj/(>"— ;'■)"( c« — à») = t|/a« ~T»[.v/6« — X' + û/c^"^ /»]

a?(a» — A«) — àK — a/("S« — ).«)(c« ~ )}) = ->/a* - l^[y\/b^ — X* — t-îj/c* — )}]

en changeant! en — i on trouve les génératrices du second système.

On peut vérifier facilement que la génératrice dont nous avons écrit les équations est dans le complexe r, + air, = o.

Les fonctions elliptiques permettent de simplifier les formules que nous venons de donner pour une génératrice.

Supposons b>c

Posons : ^ i/a» — >.* = 6», - = swa, .et ? = «

on aura alors :

[/b^ — >• = b[/i — fe's/ivr= 6dn«,

en sorte que nos deux équations s'écriront :

a?* [a* — c*sw*a] — Kcsrux. -\- abecnrydnv. = Q[bydnu. -\- iczcîirx] x*[a^ — c'sn*aj — Kcs/i« — abccnuduv. = [bydfiK — icjc/i«] .

On voit ainsi que les coordonnées d'une génératrice sont des fonctions uniformes de deux paramètres a et o.

Mais si l'on veut passer aux droites des autres congruences, on est obligé de changer la nature des fonctions elliptiques.

Nous trouverons plus tard d'autres moyens d'exprimer les coordonnées des droites des congruences en fonction de deux paramètres, par les fonctions elliptiques.

Biqiiadratiques de contact. — Je considère d'abord les surfaces ayant leurs directions de plans cycliques fixes. Pour avoir les équations de la biquadratique de contact, il faut prendre la dérivée de l'équation de la quadrique par rapport à \ et par rapport à un paramètre introduit pour rendre cette équation homogène.

On trouve ainsi, pour les équations de la biquadratique:

^ a*x* + b*y* + c*z* — fc«c« — iKx = o.

Ces équations montrent que la courbe considérée est sphérique, et qu'elle se projette sur les plans de coordonnées y=o jzzio suivant 2 coniques. Ceci, d'ailleurs, était à prévoir, puisque la courbe passe par les points singuliers situés sur le cercle de l'infini, et qu'elle est symétrique par rapport aux plans

Si nous considérons les surfaces de révolution, nous trouvons pour les équations de la biquadratique de contact :

a*fa?* + î/* — c»] + c*z* — uKyz = o a'(j* + a?« — h*) + hY — -^^ = o.

Cette courbe, comme il était à prévoir, est symétrique par rapport à l'origine et au plan des yz. Sa projection sur ce plan est une conique. Le cône ayant pour sommet l'origine et contenant la courbe est du 2* ordre.