POINTS SINGULIERS COMMUNS AUX QUADRIQUES DES 30 SÉRIES

1® Deux quadriques de la même série ont huit points singuliers communs, et deux quadriques de deux séries associées n'ont aucun point singulier commun. Cette proposition résulte de tout ce qui précède.

2® Deux quadriques de deux séries différentes et non associées ont toujours quatre points singuliers communs, et deux cas sont à distinguer selon que ces 2 quadriques ont chacun un système de génératrices rectilignes dans la même congruence, ou non.

Considérons deux quadriques S et T non associées, elles ont certainement des points singuliers communs, sans quoi elles seraient associées.

Je suppose d'abord que les génératrices de Tun des systèmes dans ces deux quadriques appartiennent à une même congruence C^ ; je nomme C, C, les congruences contenant les autres systèmes de génératrices de S et T respectivement.

Soit P un point singulier commun aux deux surfaces, ;:, ;:, n, les plans focaux de P dans les 3 complexes 12 3, ces plans focaux forment un trièdre de sommet P.

Les points exclus d'une surface étant les points situés dans les plans focaux de P, sans être sur leur intersection, on voit que les points autres que P situés, soit sur les arêtes, soit dans les faces du trièdre en question, sont exclus. Or, sur chaque arête il y a un point et dans chaque face (en dehors des arêtes) 3 points; il y a donc 12 points exclus, c'est-à-dire n'appartenant pas à la fois aux deux surfaces. Il reste, par suite, 4 points communs.

Supposons maintenant que la 1" surface ait ses génératrices rectilignes dans les congruences C^ et C„ la seconde dans deux autres congruences C, et C,. P étant toujours un point commun aux 2 surfaces, soient -, t:, r,, t., ses 4 plans focaux .

Sur l'intersection de r., et de j:, il y a un point singulier A,

de même sur r,^ r,^ un point B. Sur r,,-^ -^n, n,-, ^.^r,^, il y a des points singuliers CDEF. Enfin, dans chacun des 4 plans il y a deux points en dehors des points déjà cités. Les points A et ti ne sont exclus pour aucune des 2 surfaces, les 12 autres points sont exclus au moins de Tune d'elle, il reste donc 4 points communs.

A une surface donnée correspondent 4 x 3 ou 12 séries de surfaces dont les génératrices n'appartiennent pas aux mêmes congruences que celles de la proposée. Les surfaces appartenant à un même tétraèdre de Gôpel que la proposée sont dans ce cas comme on Ta vu. Pour démontrer la réciproque, il suffit de démontrer qu'il y a aussi 12 séries de surfaces ayant, avec la proposée, un même tétraèdre de Gôpel.

Or, soient PQ, RS, TU, VW, les quatre systèmes de 2 plans qui appartiennent à la même série que la surface proposée. Ces systèmes forment 6 tétraèdres de Gôpel (nombre de combinaisons de ces 4 couples deux à deux.

Chacun de ces tétraèdres donne lieu, comme on l'a vu à deux séries de surfaces autres que celle dont on est parti. Cela fait bien douze séries. La proposition est donc démontrée.