COMPLEXES DU 2"" ORDRE AYANT POUR SURFACE DES SINGULARITÉS

Généralités sur les complexes du 2^ ordre

Nous allons nous servir, dans ce qui suit, de propriétés générales des complexes qui sont bien connues et que Ton démontre en général par l'analyse. Nous en donnerons des démonstrations géométriques.

Considérons une droite D du complexe, un point A sur cette droite. Le cône du complexe de A contient D, soit :: le plan tangent à ce cône le long de D. Si on coupe le cône par un plan passant par D et voisin de n. ce plan coupe le cône suivant D et une droite a voisine de D, coupant D en A. Ces deux droites sont tangentes en des points voisins de A à la courbe du complexe du plan Da. On en conclut que la courbe du complexe du plan r. touche D en A .

La correspondance entre A et ^ sur la droite D est une correspondance homographique ou corrélation de Chasles, puisqu'à un point A correspond un seul cône du complexe, donc un seul plan tangent, et à un plan j: une seule courbe du complexe, donc un seul point de contact.

Les points et les plans focaux de ces points sur une droite D, par rapport à un complexe linéaire, déterminent aussi sur la droite une corrélation de Chasles. Si cette corrélation est la même que celle déterminée par le complexe proposé, on dit que le complexe linéaire est tangent au complexe proposé le long de la droite.

Une relation d'homographie :

A\a + BX + Cu H- D =

peut être singulière, c'est-à-dire se mettre sous la forme :

Ml — ^o)(i^ — ."•) = 0.

La condition, pour qu'il en soit ainsi est : BC — AD = o.

S'il en est ainsi à toutes les valeurs de >, correspondra toujours la même valeur ao et à toutes les valeurs de u la même valeur lo.

Une droite d'un complexe est singulière si la corrélation de Chasles sur cette droite est singulière. Alors, à tout point A de la droite correspond le même plan r.o et à tout plan r le même point Ao.

Il y a des complexes dont toutes les droites sont singulières, ce sont ceux qui sont formés des droites tangentes à une même surface. Nous supposons que ce ne soit pas le cas. Gomme il ne faut qu'une seule condition pour que une droite soit singulière, on en conclut que les droites singulières forment une congruence dans le complexe.

Considérons une droite singulière D, si à un point de cette droite correspond d'autre plan que le plan ^o, c'est que ce point est le point Ao, et de même si à un plan correspond un autre point que Ao, c'est que ce plan est le plan r.o-

Or, une droite singulière D faisant partie d'une congruence, touche en deux points M et \V la surface focale de cette congruence. Par M passe un élément de développable et l'on peut supposer que M est le point de concours de deux tangentes infiniment voisines D et D', le plan DD' est, comme on sait, le plan tangent en M' à la surface focale. De même M' peut être considéré comme le point de concours de deux droites singulières' infiniment voisines DD", dont le plan est tangent en M à la surface focale .

Le plan tangent au cône de sommet M, plan correspondant de M dans la corrélation singulière, est le plan DD', le plan tangent au cône de sommet M' est le plan DD", ces deux ptens DD' DD" étant différents, l'un d'eux n'est pas le plan ro ; si DD" n'est pas le plan r.o, c'est que M est le point Ao, dé même. M' n'étant pas le point Ao, le plan DD' est le plan 7:0.

Donc, le lieu du point Ao, sur toutes les droites singulières, est l'une des nappes de la surface focale, le plan tangent en A^ à cette surface est le plan no.

Ce théorème sur l'identité du lieu du point A^ et de l'enveloppe du plan zo est le théorème de Pash.

Supposons maintenant que le complexe soit du second ordre. Le plan tangent au cône du complexe en Ao étant indéterminé, ce cône se décompose en deux plans passant par la droite D. De même la courbe du complexe en 7:0 se décompose en deux points situés sur D.

Considérons une droite a n'appartenant pas au complexe. Soit A un point de la droite ; par la droite a, on peut mener deux plans tangents au cône de sommet A ; au point A on fait ainsi correspondre deux plans r.. Inversement, soit r. un plan passant par la droite ; il lui correspondra deux points A où la conique du complexe située dans le plan r. rencontre a.

Outre cette correspondance de points à plans sur la droite, on peut définir une correspondance de point à point et une correspondance de plan à plan. Deux points A se correspondront, s'ils ont le même plan correspondant ::, deux plans :: se correspondront, s'ils ont le même point correspondant A. Ces correspondances sont biquadratiques. Au point A, par exemple, correspondent deux plans ;:, à chacun d'eux correspond le point A et un autre point, cela fait donc deux points correspondant au point A. On voit de même qu'à un plan n correspondent deux autres plans.

On déduit de là Tordre et la classe de la surface des singularités ; en effet, il y a quatre points A qui coïncident avec un de * leurs correspondants, en ces points, le cône du complexe doit contenir a ou se décomposer, il ne peut contenir a qui n'appartient pas au complexe. Donc, il se décompose. Ces quatre points sont donc sur la surface des singularités qui est ainsi du quatrième ordre ; on voit de même qu'elle est de quatrième classe.

Considérons un plan quelconque P, il coupe la surface des singularités suivant une courbe 2, soit C la conique du complexe dans le plan P, M un point commun à C et à 2. En ce point, la droite du complexe, tangente à C, touche aussi 2,

d'après ce qui précède. C et 2 sont donc tangentes en tous les points où ces courbes se coupent. Cela fait quatre points de contact.

En passant à la limite, on voit que si C se décompose en deux points, ces deux points sont sur 2.

Corrélativement, le cône du complexe d'un point quelconque touche la surface des singularités en quatre points. Si ce cône se décompose en deux plans, ces deux plans sont tangents à cette surface.

Une droite singulière touche la surface des singularités et la coupe en outre en deux points. La conique du complexe située dans le plan tangent au point où la droite touche la surface, est alors l'ensemble de ces deux points, de même le cône du complexe du point de contact de la droite se compose des deux plans tangents menés par cette droite à la surface des singularités.

Soit D une droite singulière. Considérons un plan passant par D et voisin du plan ^o- H coupe la surface des singularités suivant une courbe 2 tangente à D au point Ao, La conique du complexe est très aplatie, et touche 2 en quatre points, savoir le point Ao ; un point A'„ qui viendra coïncider avec A© quand le plan considéré deviendra le plan no ; et deux points qui, dans les mêmes conditions, deviendront les deux points où D perce de nouveau la surface. Soient P et Q ces points. La tangente en A'o coupe la tangente en Ao en S, point qui, à la •limite, est le point où D touche la seconde nappe de la surface focale de la congruence des lignes singulières. La droite AoA'o étant la polaire de S par rapport à la conique du complexe, on a, en passant à la limite, le théorème suivant.

Le point S, où D touche la deuxième nappe de la surface focale, est le conjugué harmonique de Ao par rapport aux deux autres points où D coupe la surface singulière.

Corrélativement, le plan tangent en S à cette seconde nappe est conjugué du plan no par rapport aux deux plans tangents à la surface singulière, menés par D .

Ce théorème fournit une propriété de la deuxième nappe de

la surface focale. Cette deuxième nappe a reçu le nom de surface accessoire. (R. Sturm, Linien géométrie, tome IlL page 36.)

On peut déterminer Tordre et la classe de la surface accessoire, par les considérations suivantes.

Par un point de Tespace passent quatre droites singulières, qui sont les droites joignant ce point aux quatre points où le cône du complexe touche la surface des singularités. Si ces droites sont distinctes, il ne saurait v en avoir trois dans un même plan, car alors le cône du complexe les contenant se décomposerait, et il ne se décompose que si le sommet est sur la surface singulière, auquel cas deux des droites sont confondues.

Considérons alors une droite quelconque ^. Soit un point de A, à ce point correspondent quatre plans passant par a et par les quatre droites singulières.

Dans chacun de ces quatre plans, il y a quatre droites singulières dont trois ne concourent jamais quand elles sont distinctes. Une de ces droites coupe a en P, les autres coupent A en d'autres points qui correspondent ainsi à P, il y en a trois dans chaque plan, donc douze en tout. A chaque point P correspondent ainsi douze points P', il y a donc vingt-quatre points P qui coïncident avec leurs correspondants . Ces points sont ou bien des points par lesquels passent deux droites singulières confondues, ou bien des points tels que deux des plans qui leur correspondent coïncident, il y a 4 + 4 ou 8 points de cette espèce ; il reste 24 — 8, ou 16 points par lesquels passent deux droites singulières confondues. La surface focale de notre congruence est donc d'ordre 16, et par suite la surface accessoire est d'ordre 16 — 4 ou 12. On voit de même qu'elle est de classe 12.

La surface des singularités possède la propriété suivante déjà démontrée pour la surface des ondes. Le rapport anharmonique des quatre points où elle coupe une droite est égal à celui des quatre plans tangents menés par cette droite. En effet, à tout point A d'une droite on peut faire correspondre les plans tan-

gents menés par la droite au cône du complexe de ce point. On a entre le point A et Tun de ces plans, une correspondance biquadra tique. Alors la proposition à démontrer est ramenée au théorème sur l'égalité des rapports anharmoniques des quatre points de ramification > et des quatre points de ramification a, dans une correspondance biquadratique.

Nous avons vu précédemment ce qu'on devait appeler un complexe linéaire tangent à un complexe du deuxième ordre le long d'une droite D de ce complexe.

Soit f{X, X, X, X, X^ X.) = réquation en coordonnées de Klein d'un complexe du deuxième ordre.

On a ïX* = ou pour abréger = 0.

en sorte que l'équation du complexe peut aussi s'écrire :

f-\-KO = o

K étant arbitraire.

Soit A une droite du complexe ; le laisceau A + S appartiendra au complexe tangent le long de la droite A, si le cône du complexe^ ayant son sommet au sommet du faisceau, coupe ce faisceau suivant deux droites qui coïncident avec A, c'est-àdire si l'équation

a une racine double nulle, ce qui exige :

On voit ainsi que l'équation générale des complexes tangents est :

SXt/'Ai + fcïXtÔ Ai =

mais tous ces complexes déterminent naturellement sur la droite la même corrélation de Chasles.

On peut maintenant trouver facilement la condition pour qu'une droite A d'un complexe soit singulière.

Il faut pour cela que la corrélation de Chasles sur cette droite soit une corrélation singulière. Les complexes linéaires tangents doivent donc être spéciaux^ c'est-à-dire formés de droites rencontrant une droite fixe. Les quantités f\i doivent donc être les coordonnées d'une droite, ce qui fournit la condition :

tous les complexes linéaires tangents sont alors singuliers. On voit que leurs directrices /*«+ Ko» forment un faisceau plan. Il est clair alors que le sommet et le plan de ce faisceau sont le point et le plan singulier du complexe sur la droite singulière A.

Ces généralités nous seront utiles plus tard.