COMPLEXES AYANT POUR SURFACE DES SINGULARITÉS

Supposons qu'un complexe du 2® ordre admette la surface des ondes pour surface des singularités. On peut trouver comme il suit des faisceaux plans du complexe.

Considérons une droite singulière D située dans le plan no tangent en Ao à notre surface. La droite D coupe de nouveau la surface en deux points A, A\ et les faisceaux plans ::o A^, ko A\ font partie du complexe. De même les faisceaux plans de sommet Ao situés dans les plans tangents autres que r.o menés par I> à la surface font partie du complexe.

Considérons maintenant une droite quelconque D du complexe, elle coupe la surface en quatre jpoints, A^ A, A, A,. Le <îône du complexe du point A^ se décompose en deux plans, dant l'un a, contient D et touche la surface en B^. De même, le cône de complexe de A» est composé de deux plans dont l'un «,

contient D, et touche la surface et B,. On définit de même les plans a, a,, les points B, B\.

La corrélation de Chasies sur la droite D exige que (A, A, A, AJ soit égal à («^ «, «, aj, ce qui concorde avec ce qu'on sait déjà. Cette corrélation fait correspondre au point P le plan ^^ tel que

(PAjAjA,) = (nai«t(Xi)

comme on a aussi

(A^AjAjA*) = (a,«,«4a,) (A,A,A,A4) = (a,a4a<a,) (AiAjAaA*) = (ata,a,«i)

on voit qu'il y a sur la droite D quatre corrélations de Chasies distinctes déterminées sur la droite D par les différents complexes contenant cette droite et ayant la surface des ondes pour surface des singularités.

Dès lors, le nombre des complexes de cette espèce n'est pas supérieur à quatre. En effet, dans le cas contraire, il faudrait que deux d'entre eux déterminent sur la droite la même corrélation de Chasies. Mais alors si S est un point de la droite D, les deux cônes des complexes de sommet S, contiennent D et touchent le même plan le long de cette droite. Ces cônes touchent en quatre points la surface des ondes, et par suite, touchent suivant quatre droites, le cône de sommet S circons* crit à cette surface.

Ces conditions sont au nombre de 6. Un cône qui satisfait à 5 d'entre elles, (passer par D et toucher en quatre points la surface des ondes) ne satisfait pas, en général, à la 6* : toucher un plan donné P passant par D, et si le plan est choisi de façon que le problème soit possible, ce problème n'a, en général, qu'une solution.

Le cône du complexe d'un point de D est donc déterminé. Mais alors le complexe est déterminé. A chaque corrélation de Chasies ne correspond donc qu'un complexe.

Voici maintenant comment on peut définir la série des complexes ayant la surface des ondes pour surface des singularités.

Nous savons que par chaque point P de la surface passent 6 tangentes doubles dont quatre quelconques ont même rapport anharmonique, quel que soit le point P.

En chaque point P de la surface on peut mener une tangente Px faisant un rapport anharmonique donné k avec 3 des six tangentes doubles, prises dans un ordre déterminé.

Ces droites P^ forment évidemment une congruence. Je vais faire voir que c'est la congruence singulière d'un certain complexe du 2'' ordre.

La tangente Pur perce de nouveau la surface en M et N, les faisceaux de sommet M et N situés dans le plan tangent en P engendrent un complexe quand P décrit la surface.

Pour démontrer que ce complexe est du 2® ordre, je vais faire voir que dans le plan tangent en P il n'y a pas d'autres droites du complexe que celles des deux faisceaux dont il vient d'être question.

S'il y en avait une autre, elle proviendrait de la construction effectuée en partant d'un plan tangent en un autre point F ; ce serait donc l'intersection du plan tangent en P' et du plan tangent en P ; soit a cette droite qui coupe la surface en A, A, A, A,. Soit P'A, la droite singulière du complexe passant par F. Pour arriver à la conclusion à démontrer, il faut faire voir que PA, ou PA, ou PA, est la droite singulière passant par P.

Or, soient t^ t^ f, t^ t^ t, les six bitangentes passant par P, t\ t\ t\ t\ i\ t\ les six bitangentes passant par P', soient :: et r: les plans tangents en P et F, n, et r,, les autres plans tangents menés par a. m la droite PAi, ai la droite FAt.

Nous avons vu qu'on a :

La correspondance entre la droites? passant par P et la droite y par F est donc

donc si X coïncide avec a , ou avec PA, y coïncide avec a\ ou FA, ce qui démontre la proposition .

On voit que la droite a appartient à quatre complexes. P P' P, et P^ étant les points de contact des 4 plans menés par a, ces quatre complexes ont pour droites singulières :

Le 1« PA,,P'A, PaA„P,A4.

Le 2^ PA„PA, P,A,,P*A,.

Le 3° PA„PA» PjA^P^A..

Le 4« PA*,FA, P.A^P^A,.

On a ainsi quatre complexes par une droite donnée, nous savons qu'il n'y en a pas davantage.

Soit M un point de la droite a, il lui correspond par la corrélation de Chasles relative au 1^*^ complexe, un plan passant par A, au même plan un point iVi' dans la corrélation du 2* complexe.

Je vais démontrer que M et M' sont deux points correspondants d une involution.

En effet, on aura d'après ce qui précède :

(MA,A,AJ = (M'A^A^Aa)

On voit que dans la correspondance considérée, A, correspond à A, et A, à A,. C'est donc bien une involution.

En d'autres termes, quatre complexes linéaires tangents sur la droite D à nos quatre complexes sont deux à deux en involution.

Si la droite a est voisine d'une droite singulière, deux des points où elle coupe la surface sont voisins, de même que deux des plans tangents menés par a. D'où cette conclusion:

La congruence des droites singulières est l'intersection du complexe avec un complexe infiniment voisin ayant la même surface des singularités.

Si A était une bitangente, par cette droite on ne pourrait plus mener que deux plans tangents. Les complexes contenant A se réduiraient alors au complexe linéaire auquel a appartient.

Cherchons maintenant les transformations n'altérant pas les complexes admettant notre surface pour surface des singularités.

Parmi les 64 transformations changeant la surface des ondes en elle-même, il y en a 32 qui n'altèrent pas les six complexes linéaires auxquels appartiennent les bitangentes de la surface . Or, nous savons que chaque complexe du 2® ordre est déllni par les rapports anharmoniques d'une droite singulière avec les bitangentes passant par son point de contact. Les 32 transformations n'altérant pas le rapport anharmonique, et changeant chaque bitangente appartenant à un des 6 complexes linéaires en une autre bitangente du même complexe, change chaque droite singulière d'un complexe du 2® ordre en une autre droite singulière du même complexe. Elle n'altère donc pas ce complexe.

Les 32 autres transformations changent une bitangente appartenant à l'un des six complexes linéaires en une autre bitangente appartenante un autre complexe. Elles ne changent donc pas en lui-même un complexe du 2® ordre ayant la surface des ondes pour surface des singularités.