LE COMPLEXE DE PAINVIN
Parmi tous les complexes du 2® ordre ayant pour surface des singularités la surface des ondes, il y en a 2 qui jouent un rôle particulier. Si nous considérons en effet les six tangentes doubles en un point de la surface, nous avons vu qu'elles forment 3 couples d'une involution. Les deux complexes qui admettent pour lignes singulières les rayons doubles de cette involution sont particulièrement intéressants.
Soit P un point de la surface situé dans l'un des plans de coordonnées ; les six tangentes doubles en P sont deux à deux symétriques par rapport à ce plan. Les deux rayons doubles
de rinvolution sont donc, l'un dans ce plan, Tautre perpendiculaire à ce plan .
Ce plan de coordonnées coupe la surface suivant une ellipse et un cercle ; en outre, les cylindres droits ayant pour bases ces courbes sont circonscrits à la surface. Donc, pour Tun des complexes, Tellipse est la conique du complexe située dans le plan considéré tandis que le cylindre ayant pour base le cercle est le cône du complexe ayant son sommet à Tinfini dans la direction perpendiculaire. Pour l'autre complexe, c'est au contraire, le cylindre elliptique qui est formé de droites du [complexe, et le cercle qui est courbe du complexe.
Ceci s'applique également au cercle et à l'ellipse, situés dans le plan de l'infini; il n'y a pas besoin de démonstration spéciale, puisqu'il y a des transformations n'altérant pas le complexe et transformant le plan de l'infini dans l'un des plans de coordonnées.
Le complexe est son propre symétrique par rapport aux plans de coordonnées, en effet, à un faisceau plan de six tangentes doubles correspond le faisceau symétrique, les rayons doubles du V^ faisceau ont, pour symétriques, les rayons doubles du second. Soit A l'un des rayons doubles du 1®*" faisceau, B le rayon double du second qui appartient au même complexe. A et B sont symétriques l'un de l'autre, sans quoi A ne viendrait pas se confondre avec B quand le rayon du 1®^ faisceau viendrait dans l'un des plans de coordonnées.
Les propriétés que nous venons d'indiquer définissent complètement le complexe. Considérons, en effet, un complexe symétrique par rapport aux plans de coordonnées. Désignons par r^ r, r, r, r^ r. les coordonnées Plûckeriennes d'une droite. La droite symétrique par rapport au plan des xy a pour coordonnées : — r, — r, r, r^ r^ — r,.
En écrivant donc que le complexe est symétrique par rapport au plan des xy, et en supposant que l'équation du complexe contient, des carrés (c'est-à-dire que le complexe n'est pas un complexe tétraédral), on voit que les coefficients de
?•/, r/^ r/, r/, r/^ r/. r/. r^r^ r/^ sont nuls. En écrivant de même que le complexe est symétrique par rapport aux autres plans de coordonnées, on voit que les doubles produits n'existent pas dans l'équation du complexe. Cette équation est donc de la forme :
si l'on a une droite parallèle à OZ^
ses coordonnées sont :
En écrivant que cette droite fait partie du complexe on a Téquation du cylindre
Pour que ce cylindre soit ic' + y«= c\ il faut que
A4 = Aa = ^ •
En écrivant de même que les cylindres analogues font partie du complexe^ on a les conditions :
En sorte que le complexe se trouve déterminé, et il a pour équations :
a*r^* + fr*r," + c*r^* — r** — r-,^ — r^* = 0.
L'autre complexe se trouve de la même façon, il a pour équations :
Ces équations prennent une forme très simple quand on
introduit les coordonnées de Klein dont nous avons déjà parlé. Posons :
X, = -^ + itWâ X. = -^ + tr.v/S" X. = -^ + tr,v/« ya yb yc
On a alors les équations des deux complexes :
a(X,« - X,«) + fc(X,« - X,«) + c(X.« - X.«) - Î(X,« - X,«) + J[X,« - X,«] + i[X,« - X.«] = .
Il apparaît clairement sous cette forme que ces équations ne changeant pas quand on change Xi en — X», ces complexes sont polaires réciproques d'eux-mêmes par rapport au complexe linéaire Xi = 0.
Pour étudier Tun de ces complexes, je vais montrer qu'il coïncide avec le complexe dit de Painvin, dont on peut tout d'abord donner la définition suivante. Le complexe de Painvin est l'ensemble des droites telles que les deux plans tangents menés par ces droites à un ellipsoïde donné, soient rectangulaires.
Avant d'étudier ce complexe, examinons en géométrie plane le lieu des points tels que les tangentes menées de l'un d'eux à 2 coniques données soient conjuguées harmoniques. Il est bien connu que ce lieu est une conique. On peut d'ailleurs le démontrer comme il suit. Soient C, et C, les deux coniques. Cherchons combien il y a de points du lieu sur une tangente quelconque à la conique C^ On obtient ces points en menant par le pôle de cette tangente par rapport à C, deux tangentes à C^ qui coupent la tangente donnée aux points cherchés. Il y a donc bien deux points.
Les points de contact des tangentes communes aux deux coniques étant évidemment des points du lieu, sont sur cette conique C^. Soient ABCD les 4 points de contact sur C^, ce sont
les points où C, coupe C,. Si P, Q, R sont les points de rencontre des côtés opposés et des diagonales du quadrilatère ABCD, ce sont les sommets du triangle conjugué commun à C, et C^ ; mais il résulte d'un théorème connu (Théorème de Brianchon dans le cas où l'hexagone dégénère en quadrilatère) que ces trois points sont chacun sur deux diagonales du quadrilatère complet formé des tangentes communes. Comme ce quadrilatère a pour diagonales les côtés du triangle conjugué commun à C, et C„ on en conclut que C^ C, et C, sont toutes trois conjuguées par rapport au même triangle.
L'analyse fournit facilement l'équation de la conique C^. Soient :
ii« -I- 1?* 4- 11-* == Att« + Br« + Cw* =
les équations tangentielles des 2 coniques C, et C, rapportées à leur triangle conjugué commun. [J'écarte le cas singulier où elles seraient tangentes.] L'équation générale des coniques du faisceau tangentiel est
On sait que l'on obtient l'équation du lieu cherché en écrivant que les deux coniques qui passent par le point xyz correspondent à deux valeurs de >. égales et de signes contraires, c'est-àdire que l'équation :
- + fr^, — + 7^ =
a la somme de ses racines nulle : ceci fournit l'équation :
En môme temps on a la propriété suivante : Appelons coniques associées, deux coniques du faisceau tangentiel, correspondant à 2 valeurs de >. égales et de signes contraires. Alors les points du lieu considéré sont les points par lesquels passent deux coniques associées.
Pour que le lieu C, se décompose, il faut que (B + C)(C + A) (A + B) = ; supposons par exemple A + B = o, alors le lieu se décompose en deux droites passant par le sommet lo = o du triangle de référence et conjuguées par rapport aux côtés
Dans ce cas, si Ton fait \ — A dans Téquation du faisceau tangentiel, aussi bien que si Ton fait à =- A. on trouve des couples d'ombilics.
Donc : si la conique G^ se décompose, deux des couples d- ombilics du faisceau tangentiel constituent deux coniques conjuguées de ce faisceau.
Le '6"" couple d'ombilics s'obtient en faisant >. — — G il a alors pour équation :
(A — (:)îi' — (A + C)r* = o
OU
Les coordonnées de ces deux points sont :
" ^ V^A-hC v/A — C
OU
z -0 ( A + C)ir« + (G — A)//> = o.
Or, si dans Téquation de G, on fait A = — B on trouve :
Les deux points où cette conique rencontre la droite j =o sont sur la courbe ;
Gette conique s'obtient en faisant \ = G dans le faisceau t angenciel ; c'est donc l'associée du 3° Gouple d'ombilics.
Ainsi : si la conique G, se décompose en deux droites passant par le point x = o y = o, les deux points où cette conique
sua LA SURFACE DES OXDES F)E FHESNEL 75
rencontre la droite z = o sont sur la conique associée de celle qui se décompose en 2 points situés sur cette dernière droite.
Toutes ces propriétés, qui sont projectivcs, subsistent lorsque Ton substitue aux coniques des cônes ayant tous môme sommet,
Revenons maintenant au complexe de Painvin. Nous désignons par E Tellipsoïde dont il est question dans la définition de ce complexe.
J'aurai à considérer dans la suite la série des surfaces homofocales à E. Soit F = o Téquation tangentieHe de E. Les surfaces homofocales auront pour équation :
celles qui correspondent à deux valeurs de > égales et de signes contraires seront dites associées.
Soit S un point quelconque. C, le cône circonscrit à E, et ayant S pour sommet ; C, le cône isotrope de sommet S. Le faisceau tangentiel C^, C, se compose de cônes homofocaux circonscrits aux surfaces homofocales précédentes. On voit en outre sans peine que les cônes circonscrits à deux surfaces associées sont eux-mêmes associés.
Soit A une droite du complexe de Painvin, c'est-à-dire telle que les plans tangents menés à E par cette droite soient rectangulaires. Soit S un point de a. Les plans tangents menés à E sont aussi tangents au cône C,, et ils sont conjugués par rapport aux deux plans tangents menés par a au cône C,. Donc le lieu de la droite a passant par S, c'est-à-dire le cône du complexe de S est un 3** cône du 2^ ordre C, ayant même trièdre conjugué commun avec C, et C„ c'est-à-dire ayant mêmes axes que le cône C,.
Le complexe de Painvin est donc de 2° ordre.
Je puis montrer immédiatement que le complexe de Painvin est identique au complexe dont il est question au commencement de ce chapitre, et qu'en conséquence sa surface des singularités est une surface des ondes .
76 ,». HlCHAHl)
En effet, en l**"^ lieu, le complexe de Pain vin est évidemment symétrique par rapport aux plans principaux de Tellipsoïde E, que nous prendrons pour plans de coordonnées.
En 2"" lieu, cherchons par exemple le cône du complexe du point à Tin fini sur oz ; il est immédiatement visible que ce cône est un cylindre de révolution dont la base sur le plan z = o est le cercle de Monge relatif à Tellipse de section de la surface par ce plan. On a donc 3 cercles concentriques à Tell ipsoïde dans les 3 plans principaux et qui sont les bases de trois cylindres de révolution formés de droites du complexe.
Nous avons vu ci-dessus que ces conditions, quand les rayons abc des cercles étaient connus, déterminaient le complexe.
La proposition est donc établie. La surface des singularités du complexe est la surface des ondes relative à Tellipsoïde d'axes abc.
