AUTRES DEFINITIONS J)T: COMPLEXE

Soit A une droite du complexe. P, Q les deux plans tangents menés par a à rellipsoïde E, et qui sont rectangulaires ; R le plan perpendiculaire à a, mené par un des points A où a rencontre la sphère de Monge, R est aussi tangent à rellipsoïde E.

Menons par a deux plans rectangulaires PQ', les deux quadriques Ei, Ei homofocales à E, et touchant respectivement P' et Q' sont associées.

En effet, si on cherche le lieu des sommets des trièdres tri rectangles dont les 3 faces sont tangentes à 3 surfaces homofocales E, El, Et on trouve une sphère qui se réduit à la sphère de Monge de Tellipsoïde E si Ei et Et sont associées. Comme le point A sommet du trièdre formé par les plans P'Q'R est sur la sphère de Monge de E, les quadriques qui touchent P' et Q' sont nécessairement associées.

Ainsi le complexe est aussi le lieu des droites a, telles que deux plans passant par a l'un tangent à E, Vautre tangent à Et soient rec- 'tangulaires.

SUH LA SUKFACfc l)ES ONDES DE FHESNEL 77

Parmi les surfaces homofocales à E, il y en a deux qui touchent a, et Ton sait que leurs plans tangents aux points de contact sont rectangulaires. Donc, d'après ce qui précède, ces deux surfaces doivent être associées. Ainsi :

Le complexe considéré est aussi le lieu d'une droite telle que les deux surfaces homofocales à E touchant cette droite soient associées.

Considérons deux surfaces associées fixes E., E,. D'après ce qui précède, le complexe contient la congruence des tangentes communes à ces deux surfaces.

Cette congruence est de 4® ordre et de 4® classe. En efîet par un point donné S passent quatre droites, intersection des deux cônes de sommet S circonscrits à Et et à E«. Dans un plan donné P sont situées quatre droites, tangentes communes aux deux coniques suivant lesquelles P coupe Ei et Ei.

Soit A une droite de la congruence touchant Ei en A, Es en B ; on sait (Voir ci-dessus à propos du théorème de Pash, p. 60) que par A passent deux droites de la congruence situées dans le plan tangent en B et confondues avec a ; le plan tangent à E« en B est donc tangent au cône du complexe de A. De même le plan tangent en A à E. est tangent au cône du complexe de B.

Dans la corrélation de Chasles définie par le complexe sur la droite a, on connaît ainsi les plans correspondants des points A et B. Il est facile d'avoir en plus le plan correspondant du point à rinfîni sur a.

Le cône du complexe de ce point (Cylindre formé de droites parallèles à a) a pour trace sur un plan perpendiculaire à a le lieu des sommets des angles droits dont les côtés touchent le contour apparent de E projeté sur ce plan parallèlement à a. Ce lieu est un cercle ayant pour centre la projection du centre de E. Le cylindre est donc de résolution. Le plan tangent mené par A à ce cylindre est donc le plan mené par a [)erpendiculairementau plan Oa.

J-a corrélation de Chasles est ainsi complètement définie puisqu'on connaît les plans correspondants de trois points donnés.

Soit a le plan langent en A, T^ le plan tangent en B, perpendicnlaire à ej.\ o le plan mené par a perpendiculaire au plan Oa; enfin w le plan correspondant d'un point donné M. La corrélation est définie par Tégalité suivante :

c'est-à-dire

sin (w,a) (sin 0,«) __ MFJ siu (wj^-S) ' (si 11 O^'S) MX

or, sin (">, [^) - cos («, a) sin (o, ,3) = cos (o. a). on a donc .•

tg (.),«) : Ig (6,a) = —

équation très simple qui définit la correspondance entre le point M et le plan r„.

Si le plan <» est le plan central, il est perpendiculaire au plan 0, on a alors :

tg (.,,«) = — rotg {0,«)

le point central II est donc défini par la relation :

. .i ^ HB

eotg' (0//) = — jj^ •

Droites sinfinlièrcs. — On pourrait chercher les droites singulières en écrivant que la corrélation de Chasles est singulière. Nous allons procéder un peu différemment.

Les cônes C, et C„ cône circonscrit à E et cône isotrope de sommet M, ayant pour équations :

nous avons vu ci-dessus que le cône C, se décomposera si Ton aA+B = oouB + Gi=oouA + C = o.

Si l'on a, par exemple, A -f B = o, on voit que le plan j = o coupera ce cône suivant deux droites rectangulaires.

Donc : La surface des ondes, lieu des points singuliers du complexe, est le lieu des points tels que le cône circonscrit à l'ellipsoïde J?, et ayant son sommet en un de ces points, soit coupé par un de ses plans principaux suivant deux droites rectangulaires .

Le cône du complexe se décompose alors en deux plans passant par la droite x=io y — o, c'est-à-dire par Taxe du cône perpendiculaire au plan principal ci-dessus. Ainsi, c'est cette droite qui est la droite singulière passant en M.

Le plan singulier est le plan tangent au cône du complexe d'un point quelconque de la droite singulière, par exemple, du point à l'infini, il est donc perpendiculaire au plan passant par le centre de l'ellipsoïde E et par la droite singulière.

Si l'on se souvient que les plans principaux du cône C, sont les plans tangents aux trois surfaces homofocales à E qui passent par ce point, on voit que :

La droite singulière menée par un point singulier M est la normale à Tune des trois surfaces homofocales à E passant par M, elle est alors tangente aux deux autres surfaces.

On voit que la congruence des droites singulières est contenue dans le complexe des normales aux surfaces homofocales à E. (Complexe de Chasles).

Considérons le cône C^ relatif au point M ; il est coupé par le plan principal perpendiculaire à la droite singulière suivant un angle droit, les côtés de cet angle droit touchent rellipsoïde E en deux points ; comme ces points sont dans un plan principal du cône, les normales en ces deux points au cône (ou à rellipsoïde) sont dans ce plan ; le plan de langle droit est donc normal à l'ellipsoïde aux deux points de contact.

Donc : La surface des ondes est le lieu du sommet d'un angle droit dont les côtés touchent un ellipso'ide E, et dont le plan est normal à rellipsoïde aux deux points de contact des côtés.

Cette proposition est énoncée par M. Mannheim dans les comptes rendus, ainsi qued'autres résulta tsci-dessusdémontrés.

D'après ce qu'on a vu ci-dessus, la perpendiculaire a au plan de Tangle droit menée par le sommet de cet angle est la droite singulière, et le plan tangent à la surface des ondes est le plan mené par A perpendiculairement au plan de cette droite et du centre de V ellipsoïde.

Ajoutons que la conjuguée de a. joignant les points de contact des deux côtés de l'angle est orthogonale à a. a est donc situé dans le complexe des droites perpendiculaires à leurs conjuguées par rapport à l'ellipsoïde. Ce complexe n'est autre que le complexe de Ctiasles, dont il est question ci-dessus.

D'après ce qui précède, les deux quadriques E,E, homofocales à E et qui touchent la droite singulière a, la touchent toutes deux au point singulier M . D'où ces conclusions :

1** Les droites singulières sont les droites telles V[ue les deux quadriques associées E,E, qui les touchent, les touchent au même point ;

2^ La surface des ondes est la surface engendrée par l'intersection de deux quadriques associées.

Cette proposition se vérifie facilement par le calcul .

Jusqu'ici, nous n'avons pas parlé de la conique du complexe : pour la définir commodément, nous allons transformer la figure par l'une des six transformations focales qui n'altèrent pas la surface des ondes. Par exemple, par la transformation qui, au point Xo//o-o, fait correspondre le plan :

ai(x — Xq) + //Jo — -:;//o = o

nous savons déjà que cette transformation n'altère pas le complexe. Il en résulte qu'elle changera le cône du complexe d'un point dans la conique du complexe du plan correspondant.

L'ellipsoïde E est transformé en une certaine quadrique s ; le cercle de l'infini u' + <;' + i(j* = o est transformé dans le cylindre de révolution :

Les surfaces homofocales à £ sont transformées dans les

Sru LA SUHFACE DES ONDES DE FRESNEL 81

surfaces du faisceau ponctuel de s et du cylindre ci-dessus que nous nommerons r.

La propriété qui a servi de définition au complexe se transforme en celle-ci : les points où une droite du complexe perce V et r forment une division harmonique.

On peut définir deux surfaces associées d'un faisceau ponctuel /* + >? = en disant qu'elles correspondent à deux valeurs de À égales et de signes contraires,

On verra alors que les droites du complexe touchent deux surfaces associées du faisceau ponctuel ci-dessus .

Un plan P coupe 2 et r suivant deux coniques C^, C,, les droites du complexe situées dans P coupent ces deux coniques en quatre points conjugués harmoniques. L'enveloppe de ces droites est la conique du complexe . Elle admet avec C^ et C, un triangle conjugué commun et elletouche les tangentes menées à C, et à G, en leurs quatre points de rencontre.

La transformation des autres proi)riétés du complexe donne des propriétés nouvelles auxquelles je ne m'arrêterai pas. Je vais déduire de ce qui précède, deux propriétés démontrées par Pain vin. (Bulletin des Sciences mathématiques^ tome IL )

Théorème L — Le centre de la conicjne du complexe située dans un plan P est le pied H de la perpendiciilaire abaissée du rentre de relHpsoïde t! sur ce plan.

Considérons une droite quelconque a parallèle à P. Le cylindre des droites du complexe parallèles à a est de révolution, il est coupé par le plan P suivant deux droites équidistantes du pied H de la perpendiculaire. La conique du complexe est donc telle que deux tangentes parallèles quelconques soient équidistantes de H ; donc, elle a H pour centre.

Lemme, — Le cône du complexe d'un point P et le plan polaire de P par rapport à r déterminent une courbe C, le cône du complexe de P et son plan polaire par rapport à 2 déterminent une courbe G' ; les deux courbes G et G' sont situées sur une même surface T passant par l'intersection de r et s.

Le plan polaire de P par rapport à i^ coupe l'intersection de

r et de V en quatre points ; soit M Tun de ces points ; MP est tangente à r, c'est donc une droite du complexe (car elle coupe r et V en quatre points dont trois confondus en M, ce qui fait une division harmonique). Donc, M est sur la conique d'intersection du plan polaire de P avec le cône du complexe. Cette conique j)asse ainsi par les quatre points telîpque M, On démontrerait de même que la conique C intersection du cône du complexe et du plan polaire de P par rapport à r coupe en quatre points la courbe d'intersection de r et de 2.

Les deux coniques et C étant sur un morne cône, déterminent un faisceau ponctuel de surfaces, prenons une de ces surfaces, celle qui passe par un point donné de Tintersection de r et 2 ; alors elle passera par neuf points de cette intersection et la contiendra. C'est la surface r dont il est question dans renoncé.

Théorème II. — La courbe du complexe dans un plans P détermine deux cônes ; Vun ayant 'pour sommet le pôle de P par rapport à VelUpso'ide E, Vautre ayant pour sommet le pôle du plan P par rapport au cercle de- Vinfini^ et qui n'est autre que le cylindre ayant la courbe pour section droite. Ces deux cônes sont circonscrits à une même surface homo focale à E.

On obtient immédiatement ce théorème en transformant le lemme précédent, par la transformation ci-dessus étudiée.

On peut se demander si la conique du complexe peut être un cercle. Il faut pour cela que le cylindre qui Ta pour section droite soit de révolution. Or, d'après ce qui précède, ce cylindre est circonscrit à une ellipsoïde homofocal à Tellipsoïde E. L'axe de ce cylindre est donc parallèle à l'asymptote de Tune des focales de E, et le plan du cercle du complexe lui est perpendiculaire.

Ainsi les plans tels que la conique du complexe, soit un cercle, sont perpendiculaires aux asymptotes des focales de E. Il y a en conséquence deux directions de plans qui sont réelles et quatre imaginaires.

Quant au lieu des sommets des cônes de révolution du com-

plexe, c'est Tensemble des focales de E, on voit en effet que si le cône circonscrit à Tellipsoïde E est de révolution, il en est de même de celui du complexe, ayant même sommet.

Nous avons étudié Tun des deux complexes ayant comme droite singulière en un point de la surface des ondes, l'un des deux rayons doubles de Tinvolution dont les six tangentes doubles forment trois couples.

Nous dirons peu de choses du deuxième complexe, son étude se ramenant à celle du premier par polaires réciproques, comme nous allons l'indiquer,

Considérons le complexe de Painvin admettant pour surfaces des singularités la surface des ondes relatives à rellipsoïde :

et prenons les polaires réciproques par rapport à la sphère.

ar» + y' + z' = R\

Nous trouverons évidemment un second complexe admettant pour surface des singularités, la surfa(*e des ondes relative à l'ellipsoïde :

et qui sera évidemment le complexe que nous voulons étudier.

Comme par chaque droite du premier complexe, on peut mener à un certain ellipsoïde E' deux plans tangents rectangulaires, il en résulte que le second complexe est le lieu des droites interceptant, dans une autre ellipsoïde E, une corde vue du centre sous un angle droit.

Différentes propositions peuvent se déduire par polaires réciproques de celles du complexe de Painvin, ou bien se démontrent d'une façon analogue.