LE TETRAÉDROIDE DE CAYLEY ET LES COMPLEXES HARMONIQUES

Refrésentniion paramétrique de la surface des ondes

Cette surface s'obtient en faisant subir à la surface des ondes une transformation homographique quelconque. Elle s'obtient aussi, par conséquent, comme surface singulière d'un complexe harmonique.

Ce que nous allons indiquer maintenant sur ces complexes, fournira des propriétés du tétraédroïde de Cayley, qui s'étendront sans peine à la surface des ondes. Si nous raisonnons sur le tétraédroïde, c'est pour plus de symétrie dans les calculs.

Considérons deux surfaces du 2"" ordre, rapportées à leur tétraèdre conjugué commun :

Ecrivons que la droite qui joint les points X, X, X, X^, Y, Y, Y, Y, divise harmoniquement ces deux surfaces; on obtient sans peine :

(a,X,« + ...)(^Y,« +...)+ (^X,« + ...)(a,Y«, + ...) — 2(tt;X,Y, + ...)(friX,Yi + ...) = 0.

OU en réduisant :

i(aibK + hiUK )(XiYK — XhYi)' = o.

L'équation du complexe est donc :

(3) ' i(aibK + MK)r*tK = o,

en appelant ici les .coordonnées d'une droite r^, r^, r^, r,, r„ r,, r,,.

Si nous avions, en prenant les coordonnées tangentielles, cherché les droites telles que les plans tangents menés par chacune d'elles à deux quadriques, forment un faisceau harmonique, nous aurions trouvé une équation de même forme.

Il n'y a donc qu'une seule espèce de complexe harmonique, formé de droites divisant harmoniquement certains couples de

quadriques, et tels que les plans tangents menés par ces droites à certains autres couples de quadriques forment un faisceau harmonique.

De plus, il y a une infinité de couples de quadriques, comme nous allons voir.

Identifions Téquation (3) avecTéquation

en pourra écrire 6 équations

Oihk + biak = Aifc