OUI

ftk ai aiaic

posons :

ht Ifk __

ai aie

on aura les équations :

, Au «1 -h «4 — — — -

On élimine facilement les « entre ces 6 équations : on trouve.

Ail Au An Aj4

a^a, a^a^ a^ai a^a^

Ajj \ti

on a ainsi, pour déterminer ai ^i a» a^ deux équations iiomogènes à 4 inconnues. Si nous posons :

on a

Ai,x- — Atji/j: = A.^xt — A,,i/r.

Cela représente deux quadriques passant par les 4 sommets

du tétraèdre de référence, mais se coupant suivant une biqua-

drique, en prenant donc pour - les coordonnées d'un

point quelconque de cette courbe, les équations donneront a, a, a, a, et par suite b^ b^ b^ b^. On aura donc déterminé un couple de quadriques pour lesquels le complexe est harmonique de la première façon. Soit par un calcul analogue, soit par une transformation laissant invariable le complexe, on déterminera une infinité de couples de quadriques pour lesquelles le complexe est harmonique de la seconde façon.

Nous ferons tout à Theure Tapplication de ces calculs à la surface des ondes, et au complexe de Painvin, en précisant quelles sont les surfaces que les droites de ce complexe divisent harmoniquement. Mais auparavant, nous démontrerons le résultat suivant relatif aux droites singulières du complexe harmonique.

Toute droite tangente à Tune des deux surfaces en un point d'intersection de ces surfaces, est évidemment une droite du complexe. Il résulte de là que le cône du complexe d'un point d'intersection des deux surfaces se décompose dans les deux plans tangents, et par suite les tangentes à l'intersection des deux surfaces sont des droites singulières du complexe. Comme on peut, ainsi que nous l'avons vu, choisir les deux surfaces

d'une infinité de façons, on en conclut que le lieu de Tintersection des deux surfaces d'un couple, quand ce couple varie, c'est la létraédroïde, surface singulière du complexe, et que ces intersections forment la série des arêtes de rebroussement des développables de la congruence des droites singulières. (On sait qu'il y a deux séries de ces développables, il s'agit de celles qui ont leur arête de rebroussement sur le tétraédroïde).

Ainsi ces arêtes de rebroussement sont des biquadriques intersections de deux surfaces ayant toutes deux le tétraèdre de référence pour tétraèdre conjugué. Ceci va nous permettre de trouver pour la surface des ondes, tous les couples de quadriques que les droites du complexe de Painvin divisent harmoniquement .

Prenons l'équation de la surface .

On obtient des biquadra tiques sur cette surface en coupant soit par la sphère x* -\-y' + z^ = «, soit par l'ellipsoïde a' x' 4- t' y' + r' :r' = ç, et ces surfaces admettant pour tétraèdre conjugué le tétraèdre T, il est à soupçonner que ce sont soit les unes soit les autres de ces biquadratiquesqui sont les arêtes de rebroussement pour les droites singulières du complexe de Painvin.

Nous allons démontrer que ce sont les secondes et pour cela trouver tous les couples de surfaces divisés harmoniquement. Si Ton cherche le cône du sommet o, contenant l'intersection de l'ellipsoïde.

avec la surface des ondes, on trouve :

c6ne qui reste homofocal à lui-même quand à varie.

Prenons deux surfaces passant par l'intersection des précédentes :

88 J. HICHAHI»

uF + y = 0.

et cherchons le complexe harmonique relatif à ces surfaces. On peut écrire immédiatement Téquation de ce complexe, puisque le calcul a été fait d'une manière générale.

On trouve alors que ce complexe peut être identifié avec le complexe de Painvin en prenant :

Ainsi les couples de surfaces sont ceux définis par les équations.