étant donné en fonction de x par Téquation précédente
Les arêtes de rebroussement sont situées sur la surface F = o qui passe par la conique à Tinfîni de la surface des ondes. 11 est visible que par ces mêmes courbes, on peut faire passer une quadrique contenant le cercle x= o y* + z* = a* etde même une quadrique contenant le cercle y = o z* + x^ z=b\ et une autre contenant le cercle z = o x* + y* = r\
En transformant toutes ces propositions à l'aide de Tune des transformations dualistiques laissant le complexe de Painvin inaltéré, on voit que les développables qui n'ont pas leur arête de rebroussement sur la surface des ondes, sont circonscrites à des surfaces du second ordre. Parmi ces surfaces une est circonscrite au cône isotrope ayant pour sommet l'origine (p — o u' -f V* + a* = o) [c'est dire qu'elle est de révolution autour d'un axe passant par l'origine], une autre est circonscrite au cylindre
On voit par ce qui précède, que des deux coniques situées dans Tune des faces du tétraèdre T Tune d'elles joue un certain rôle par rapport au complexe de Painvin, puisque par cette conique (et non par Vautre) et par Tune des arêtes de rebroussement, on peut faire passer une quadrique.
L'autre conique joue évidemment un rôle analogue par rapport à l'autre complexe harmonique polaire réciproque du complexe de Painvin .
Relativement aux développables dont il vient d'être question, nous démontrerons ultérieurement d'autres propositions à l'aide des coordonnées elliptiques de droites.
On peut rattacher à ce qui précède une représentation paramétrique de la surface des ondes, sur laquelle nous reviendrons plus tard.
Posons :
Dans l'équation de la surface des ondes mettons > et u à la place des polynômes correspondants on aura :
a«(ft* + c»)x» -h b*(c* + a')y* -h c«(a« + h*)z* = Au + a«6»o«
En résolvant ces équations on trouve
Les lignes à = const. u = const. c'est-à-dire les courbes d'intersection de la surface par les ellipsoïdes et par les sphères sont orthogonales.
On vérifie facilement en effet, l'identité :
dx dx dy dy dz dz
rf). du rf/ du d\ du
On peut aussi raisonner comme il suit, la ligne x = corist. est sur le cône :
a^x^ bUj* r"^*
La ligne u = const. est sur le cône.
ces deux cônes sont homofocaux, on le voit en posant à ==
Ils se coupent donc à angle droit, d'autre part la ligne X = const. est perpendiculaire à la génératrice d'intersection des 2 cônes, donc le§ 2 lignes > = const. u. = const. se coupent à angle droit.
Si u = -T— les 2 lignes coïncident. Ainsi le^ cônes homofocaux coupent la surface suivant des biquadriques x = const. u = const.
11 n'est pas inutile de signaler une façon d'énoncer le résultat qili précède. Si Ton considère les deux complexes harmoniques qui ont pour surface des singularités la surface des ondes, les deux droites singulières de ces deux complexes passant par le même point de cette surface, se coupent à angle droit.
Dans la théorie des fonctions elliptiques de MM. Appell et Lacour, la surface des ondes est définie par les formules suivantes :
X =L h sn(ujc)dn(vj) y — a cn(iLk)rn(v^l) z = a dn(u,k)d7i(\\l)
ou
St'H LA SUHFACE DKS ONDES DE KKESNEL 91
Li on suppose a <b <c, et où l'on a A;« =^ , , k'^ = , ,
a" f:» — />' r» /;» — df«
il est facile de trouver la liaison entre cette représentation paramétriique et la représentation ci-dessus. On a
.r» + //« + -' = / == b^ + (fc' — a')(sn*u — 1)
Les lignes paramétriques w=const. ^=const. sont donc précisément nos lignes i = const. a = const.
A cause des formules
sn(u + 2K) = — snu (ln(i' + ÈiU) = — dnv cn(u + 2K) = — cnu sn(v -h 2iL') = — owr dn(u -h 2K) = dnw 8n(t 4- 2êL') = c/ii?.
on voit que les arguments u+ 2K r + 2/L' et de même les arguments u + 2/K' r + 2L. donnent le même point que les arguments u et t\
On voit qu'il n'est pas nécessaire, pour avoir un point réel que u et v soient réels. On voit aussi que le point u,v est également obtenu en donnant à l'argument les valeurs 2K — u 2L — v.
