HICHARi

Toutefois, pour abréger le langage, nous pourrons appeler ^1 ^ï^3^4^5^« l^s quantités abc, — a — b — c.

Nous avons déjà introduit à plusieurs reprises, et notamment dans le chapitre précédent, les six coordonnées de droites que nous avons nommées coordonnées de Klein, et qui sont liées aux coordonnées plûckériennes par des relations telles que celles-ci :

(1) X^ = — ^ + ir,i/a iXi = — ^ — ir,\/a ,

ya ^ y a

et qui sont liées entre elles par la relation

(2) iXi* = 0.

Nous avons étudié dans le chapitre précédent, les deux complexes ayant pour équations :

(3) iaiXi' = o l-X^'=zo.

On voit ici comment la notation adoptée pour désigner abc

— a — b — c abrège récriture.

Considérons donc le complexe :

en faisant à = o, on a le complexe représenté par la deuxième équation (3), en faisant i infini, et tenant compte de la relation (2), on a le complexe représenté par la première équation (3).

Si on donne aux Xt des valeurs déterminées dans Téquation (4), on a une équation du quatrième degré en >. 11 y a donc quatre complexes (4) qui contiennent une droite donnée a ; les quatre valeurs de x correspondantes sont ce que nous nommerons les coordonnées elliptiques de la droite a.

Comme Téquation (4) ne change pas quand on change Xt en

— Xj, on en conclut qu'il y a seize droites possédant les mêmes coordonnées elliptiques.

SUR LuV SURFACfe DES ONDES DE FHESXEL 93

Soient \ >,/,>, les coordonnées d'une droite. Il est facile d'obtenir les coordonnées Xt relatives à cette droite.

En effet, de ce que Téquation (4) doit avoir pour racines >, >,>.,>„ il résulte Tidentité.

^ "> -h flt "" /Kà)

k étant un facteur constant, et /* (>) désignant le produit des six binômes i + a,, faisons dans cette identité à = — a^ après avoir multiplié les deux membres par >. -h a»; et faisant abstraction du facteur k qui est inutile puisque les X^ sont des coordonnées homogènes.

11 faut remarquer que Ton a :

/\/) = (x« — a*)(X" — frM(À* — c') et par suite /* {ai) = — p ( — a,).

Je vais chercher les droites singulières d'un des complexes (4). Comme nous l'avons déjà vu, on exprime qu'une droite est singulière, en exprimant que la corrélation de Chasles de cette droite est singulière, et ceci se fait (en coordonnées de Klein) en écrivant que la somme des carrés des dérivées du premier membre de l'équation du complexe est nulle . Ceci donne ici

C'est-à-dire qu'une droite est singulière quand l'équation (5) acquiert une racine double.

On obtiendra donc les coordonnées d'une droite singulière en faisant x, = x,, par exemple. Les formules (5) deviennent alors :

m V . - (^ + Ài)'(flt + )>,)(at + x,)

M — fli)

Nous allons changer de notations en mettant )., u, p, au lieu de x^x,x.,.

alors

on vérifie facilement que ces valeurs de Xi satisfont bien d'ellesmêmes aux relations (2) (4) (6) en s'aidant de cette identité due à Euler :

où F (x) désigne le produit des binômes x — Xi et 9 (x) un polynôme dont le degré est inférieur d'au moins deux unités à celui de F {x).

Je vais montrer que tous les complexes (4) ont la même surface des singularités.

Je désignerai par X^ les coordonnées d'une droite de Tun des complexes (4) et par Xi les coordonnées courantes ; l'équation

L> 4- Cii J

représente un complexe linéaire tangent le long de la droite X,. Si cette droite est singulière, ce complexe est spécial. La directrice du complexe est une droite du faisceau plan formé par le point et le plan singulier sur la droite X7:

Or, cette droite a pour coordonnées :

V Xt , ,v -> X,(l -f kX) XkaiXr 1 / — r- r fc\i . , -r :^ — ;

A -\- ai ^ + ai A + ai

si Ton pose

Xi(l+ fcx) Xai\i

A 4- at X + flfi

on voit que Z, est une droite du premier complexe (3) et T| une droite du deuxième complexe (3), on a Yt = Zi + /tT,, c'està-dire que le point et le plan singulier sont les mêmes pour tous

les complexes, quand, en faisant varier x, on laisse u et p constants ; Zi et T,, en effet, ne dépendent pas de x.

La surface des singularités étant la même pour tous les complexes, n'est autre que la surface des ondes, surface singulière des deux complexes (3).

Les formules (7) ou (8) représentent donc les tangentes à la surface des ondes. En laissant / et p invariables, on a les tangentes en un point de la surface des ondes.

Si on donne à a et à p deux systèmes de valeurs, on obtient deux faisceaux plans dans lesquels les droites correspondant à la même valeur de \ et, par suite, au même complexe, sont homographiques Tune de Tautre ; on retrouve ainsi une proposition déjà démontrée.

Si Ton fait x = — a^, on a X^ = o ; on voit donc que les six complexes linéaires font partie de la série des complexes du deuxième ordre ayant pour surface des singularités, la surface des ondes.

On peut déduire de là les propriétés des six tangentes doubles déjà démontrées.

Nous allons résoudre, à l'aide des coordonnées elliptiques, un certain nombre de questions donnant lieu à des équations différentielles

Auparavant, nous allons chercher la condition pour que deux droites infiniment voisines (X,) et (X^ -h ^/Xt) se coupent.

Cette condition s'exprime par la relation ;

Nous allons calculer sdX' par le procédé bien connu employé par Jacobi, pour trouver rôlément d'arc de courbe en coordonnées elliptiques.

En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres de l'équation (5), on obtient :

jlxi ii\ (/X, rfXj (/Xi

Xt ai + X^ ai -[- X, ai + \ ai -h X^

de sorte que dans iidX* le coefficient de d>\ est :

celui de (M\ est nul, comme on le voit en faisant x = x, X = X, dans (4) et retranchant membre à membre les résultats obtenus.

Pour calculer 2— -V-v^, prenons Tidentité qui nous a déjà

servi :

Xi' __ fc(> — ),)(). ~>,)(x — >,)(x — xj

Prenons la dérivée des deux membres, par rapport a x, et faisons y> = x,, on trouve :

__ .. Xi' ^ k(\-\,)(l,-l ,)(l ,-i,) >t + X,)« 'f{\)

appelons r,, le deuxième membre de cette égalité ; on aura là condition

(10) Iniihi = 0.

Lignes (uymptotiques de la surface des ondes. — Il est facile de démontrer que si une droite est tangente asymptotique de la surface des ondes, trois des complexes qui la contiennent sont confondus. En effet, d'après ce qu'on a vu sur les complexes qui contiennent une droite, il y a autant de complexes distincts qu'il y a de points distincts où la droite rencontre la surface.

Mais si dans l'équation (8), on fait \ = u, toutes les quantités r,t sont nulles dans (4) sauf n,. l'équation (10) devient dx, = ou du = 0, d'où u = constante.

C'est la condition pour que les tangentes asymptotiques infiniment voisines se coupent, et par suite appartiennent à une même ligne asymptotique.

a = O"" p= C'^ sont donc les équations des lignes asymptotiques.

En me servant de ce résultat, je vais démontrer une proposition fort intéressante due à M. Darboux (Théorie des Surfaces, tome IV, page 479) et déduire de là une forme plus explicite de l'équation des lignes asymptoliques.

Un complexe tétraédral, dont le tétraèdre est formé par les trois plans de coordonnées et le plan de Tinfini (complexe de Chasles) a en coordonnées Plûckériennes, une équation de la forme.

et par conséquent, en coordannéès de Klein.

Cherchons parmi les tangentes à la surface des ondes, celles qui sont dans ce complexe : pour cela, remplaçons dans (11) les X, par les formules (8) . Nous aurons une équation en x du second degré qui fournira les droites cherchées .

Si Ton pose, pour abréger :

ô = A(6« — cM + B(c' — a») -h C(a* — 6») . H = Aa«(fr' — c») -h B6*(c' — a") + Cc»(a* — b')

on trouve, après un calcul très simple, Téquation :

6X»(a -h /)) + 2/(H + Ouo) + H(u -{-p) = o.

Si cette équation en x a une racine double, c'est que les deux droites du complexe situées dans le faisceau de tangentes considéré sont confondues ou que le plan tangent à la surface est tangent au cône du complexe du point de contact.

Or, la condition, pour que Téquation précédente ait une racine double, est :

(V — H)(Ohl« — H) = o.

Choisissons donc A, B, C, de façon à avoir, par exemple :

alors, en tous les points pour lesquels u aura la même valeur, le complexe tétraédral sera le même. Et d'après ce qui précède, tous ces points seront ceux d'une même ligne asymptotique^

Donc, en tous les points d'une même ligne asymptotique, le plan tangent à la surface des ondes est tangent au cône d'un même complexe de Chasles, cône ayant son sommet au point de contact.

C'est le théorème de M. Darboux.

Calculons les coefficients A, B, C

La relation o^* = H peut s'écrire.

on peut prendre :

Le cône du complexe d'un point Xoi/o^o a pour équation, en transportant l'origine en ce point :

x( yz, — zy,) y(zx, — xz,) z(xy, — yx^) II.' — a' a»~ft* "*■ u' — c*

ou en réduisant :

Xoyzià" — {x*)(6« — c') + y(^x(b* — [^*)(c^ — a') + ZoXy(c* — [x«)(a* ■— b*) = 0.

La condition, pour que le plan itx + ^y + '/^- = touche ce cône, est :

[/ux,(\L* — a*)(l)' — c") + V^D/Zod^"^ //)(? — a») + \/wz,(u.' — c')(a* — i«) = 0.

Il résulte de laque les lignes asymptoti([ues sont à l'intersection de la surface des ondes f=o, avec les surfaces représentées par l'équation :

t/^/V(;x* - a')(b' - c') ^ \/yfy{:^'- b%c^- a') + >/zf,[i} - c')(a' - b')=o,

II. — Surfaces déceloppahles situées dans la conyruence commune à deux complexes. — Considérons deux complexes obtenus en don-

nant à x deux valeurs fixes x, \ . La congruence commune à ces deux complexes contient des surfaces développables dont on obtient Téquation différentielle en coordonnées elliptiques, en faisant \ et x, constants dans Téquation (10). On trouve ainsi :

Ml) "' f\\)

OU bien

(X , ^ xO(x, - >jdx; ^ (x,~X3)(x,-x,)rfx;

on voit que les variables sont séparées, mais nous ne continuerons le calcul que dans un cas particulier.

III. — Développables des six comjruenres fondamentales — En faisant x, = x, = - «t on a les développables situées dans la congruence relative au complexe X, = o.

Nous ferons pour fixer les idées X3 = x, = - a. on posera de plus x, == u. x, =n on aura l'équation

L'intégrale se ramène bien à des fonctions elliptiques, mais Il faut introduire deux espèces de fonctions. Finalement l'intégrale de Téquation ci -dessus n'est pas algébrique.

IV. — Développables formées de lujnes singulières de l'un des complexes duS"" ordre. — Cas du complexe de Pain vin.

Si dans l'équation n° II on fait x^ = x,, on a le cas où les deux complexes étant infiniment voisins on a affaire à des lignes singulières des deux complexes.

Le cas de x, = x, = et le cas de x, = x, = ^ doivent nous attirer tout particulièrement. Ce dernier cas est celui du complexe de Painvin ; l'équation différentielle devient alors :

du do

on a :

posons a* = -, ^«=-et par suite Téquation diflérentielle de viendra :

du dv

Cette équation est l'équation dite d'Euler. Je vais Tintégrer par la même méthode qu'emploie M. Darboux pour les lignes asymptotiques de la surface des ondes.

Si Ton a Téquatiôn :

du dv

\/(A — TO(B '— u)(C — u) v/(A — v)(B — v)(C — r)

et si Ton pose

/(A-n)(A-i)) . /(B - ii)(B - 1?) . /(C - m)(C - r)

^^ - V ~ " r(A) ^' - V "" "/^HBj '' ^ V -' W)

OÙ

/lç) = (ï-A)(;-B){5-C)

L'intégrale de l'équation diflérentielle précédente peut s'écrire :

OÙ Â-^ h\ k^ doivent vérifier la relation

La somme des carrés des 3 quantités o est égale à l'unité, on le voit de la façon la plus simple en décomposant en fractions simples la fraction :

on trouve :

et en égalant les coefficients de - dans ces deux expressions, on trouve :

Oi" + 0.' + O,« = 4.

Nous admettons les résultats précédents. Pour les appliquer à notre équation différentielle il suffit de faire :

Calculons alors o, o, 6, on a :

revenons aux variables {x et p ; on aura :

fcc / (u«~a' )(p«-a')

Il est facile alors d'écrire l'intégrale de l'équation ; mais nous allons revenir aux coordonnées Xi.

A l'aide des valeurs de X on trouve sans peine

de sorte que faisant abstraction d'un facteur constant inutile, on peut prendre

et Tîntégrale peut s'écrire :

x.xyA-, , x,xy£, , x,x.v/fe

Âr^ + A:, + /c, ayant une somme nulle.

On trouve ainsi que la développable cherchée est la courbe commune à la congruence considérée et à un complexe du 2^ ordre représentée par Téquation précédente.

Posons encore

^1 p '^ p *fa p

fr — c r — a a — h*

rintégrale pourra s'écrire

XiXyc; + x.Xn v/c, + x,x« \/c, - o

avec la condition

on peut poser

G, = a» + K G, = fr» + K G. = c» + K

et cette condition sera satisfaite. L'intégrale peut donc s'écrire finalement :