T^— rr
Cette équation est celle d'un complexe harmonique.
Donc : Toutes les droites d^une même développable de la congruence
des droites singulières du complexe de Painvin appartiennent à un autre complexe harmo7iique.
Ce n'est pas tout, ce soiit des droites singulières de ce second complexe, en effet, la relation qui exprime qu'une droite de ce complexe est singulière, est :
or, cette équation est satisfaite, puisque 2 Xi* = ia\ X\ — 0.
Enfin, cherchons le faisceau plan singulier dans ce deuxième
complexe, une droite de ce faisceau plan a pour coordonnées :
?, =XX, +/â^+KX, etc.
Si Ton écrit que cette droite rencontre un droite du faisceau plan singulier relatif au premier complexe.
Ç', =. ixXi -{- dX,
La condition xÇt ?i = nous donne :
2>[i.X/ + ii2v/a«-|-KXiX, + iiaX,* =
les autres termes disparaissent. On voit que ceci est nul en vertu des équation précédentes.
Or, quand deux faisceaux plans sont tels que toute droite de l'un coupe toute droite de l'autre, ils ont leur plan ou leur sommet commun. Donc :
Ou bien la surface des singularités de notre deuxième complexe coupe la surface des ondes suivant l'arête de rebroussement de la développable, ou bien le plan tangent à la développable touche les deux surfaces.
Nous avons vu précédemment ce qu'était cette àrète de rebroussement.
On peut se proposer de chercher les coordonnées du point de la surface des ondes qui est le sommet du faisceau plan défini en coordonnées de Klein par les équations :
. __ (a t4-'^)v'(ât+V)(âV+>)
Nous pouvons poser d'abord :
Xt = (ai + x)ïi.
Les coordonnées plûckériennes de la droite sont alors défi^ nies par trois couples d'équations, telles que
pour avoir Ta; du sommet du faisceau, déterminons x de façon que ce faisceau soit parallèle au plan des yz. Il suffît de faire r. = 0.
ou :
, ^ 5i + »5* ^ (?i + «ïO* A = — a a
) étant ainsi choisi, on a a? = — - = " •
On a ainsi x en fonction de rx et de p. On aurait de même tjetz,
On aurait de même uv w coordonnées du plan du faisceau, tangent à la surface des ondes.
On peut se proposer d'introduire les variables suivantes :
J Vm J o
pdp
Nous avons vu précédemment que l'intégrale de l'équation d to = pouvait s'écrire :
oy(a' H- K)(6' — (f) + 0^(6* + K)(c> — a') + oyc* + K)(a* - i«)==. o,
OÙ K est une constante arbitraire.
Si nous posons :
= a« — 7^"^~ = aS •
On peut écrire o> = a + p, et a> est ce que devient a pour 3 = 0.
On peut alors écrire ji« — ^ (a) p» = ^ (p), <}» étant une fonction elliptique, et Ton constatera alors que le procédé qui sert à déduire la formule d'addition des fonctions elliptiques de Téquation d'Euler, que Kz= — ^;(a-f-p) = - ^;H.
On pourra alors écrire :
- r*^ dk
Mais les lignes oj= constante sur la surface des ondes^ peuvent aussi s'écrire :
s désignant une autre constante.
Il en résulte que s est aussi une fonction elliptique de w. On démontrerait de même que ic* + t/' + z' est une fonction elliptique de (u'.
La représentation paramétrique de la surface que Ton trouve ainsi ne diffère donc pas de celle que Ton déduit des formules données par MM. Appell et Lacour, et dont nous avons déjà parlé.
106 J. HICHAHl)
THÉORÈME DE MVEN
Le théorème de Niven est une proposition dont on peut déduire un nouveau mode de génération de la surface des ondes, dans lequel il n'entre aucun ellipsoïde. II fournit en outre le plan tangent à cette surface et la congruence singulière du complexe de Pain vin.
Nous allons aborder la question de la façon suivante :
Soient les trois cercles :
Par ces cercles, nous faisons passer des sphères S^ S, S„ qui se coupent en M et P. Si Tangle OPM est droit, le lieu du point M est la surface des ondes, le point P est le pied de la perpendiculaire abaissée de sur le pian tangent en M à cette surface, et par suite MP, axe radical des trois sphères, est la droite singulière du complexe de Painvin, dont le point singulier est M,
Il est très facile de démontrer ces propositions.
Soient xy zles coordonnées de M, «lây celles de P. En écrivant les équations des sphères S, S, S, et exprimant que les points M et P sont sur chacune d'elles, on a :
(3) ar' + 1/* + 2' — 2v- — c* = o
(6) «• + ,V + v' — tr, — r' = 0.
SUR LA SUliFAGE DES ONDES DE FRESNEL 107
avec la relation exprimant que Tangle OPM est droit :
(7) cr(j:- «) + .% ^ ^)+y(z -y) = o.
Retranchons (4) de (1), on trouve :
(8) ti(x — «) = CM' — 0P«
et de même :
(9) 2;x(j/ — .6) = 0M' — OP
enfin :
(10) 2v(j — v) ;:= OM^ — OP*.
en portant ces valeurs de jc — a// — f;- — y dans Téquation (7), on trouve :
pour avoir le lieu du point P, tirons x m v des équations (4) (5) (6) et portons dans l'équation (11), on trouve :
* Cl* ^
(^-) OP'- a« "^ "OP' - b' ^ 0P^=^ ^ ''•
c'est l'équation de la podaire de la surface des ondes, comme on le voit facilement.
Le plan mené par P perpendiculaire à OP est tangent à cette dernière surface.
Pour avoir le lieu du point M, écrivons l'équation (7) comme il suit :
mais l'on a l'identité
x(x — «) + */(// — i^) -h -(- — y) = 0M« — «0? — Pu — yz.
108 i. tllGIIAHt)
d'où résulte que Téquation (7) peut s'écrire :
(13) x(x^,a)+y(y - .6) + ^U -y) = OM* — OP'
ou en remplaçant x — a y — fi z^y par leur valeurs tirées
de (8) (9) (10).
et en tirant >^vde (1), (2), (3), on a :
Si Ton remplace 1 par - — ~.t cette équation devient :
**^' OU' -a' ■*■ DM'- b' "•" m^^^ ^ "•
c'est Téquation de la surface des ondes.
Le théorème est ainsi démontré. La construction indiquée précédemment pour les droites singulières du complexe de Painvin montre que MP est une de ces droites.
On peut; du reste, se proposer d'étudier directement la congruencedes droites MP. C'est ce que nous allons faire maintenant.
Si d'abord, nous laissons de côté la condition (7), les axes radicaux des trois sphères (1), (2) et (3) forment un complexe.
Un de ces axes radicaux a pour équations ;
(17) 2)jr + a' rn 2^y + b' = %z + c*.
Les coordonnées de cette droite sont, en désignant par k un facteur de proportionnalité :
2iiv '■ 2v). ' 2)iu
SUR LA SURFACE DES ONDES D£ FtlESNËL IÔ9
la relation r,r, + r,i\ + r,r. = se vérifie sans peine ; on voit da plus que :
(19) flfVir* -f- ftVjr, + c^rtr^ = o.
C'est l'équation du complexe des axes radicaux, Ce complexe est celui que nous avons nommé précédemment complexe de Chasles.
Il reste à tenir compte de la relation (7). Celle-ci équivaut à une relation entre à ^ v que nous allons former. Nous tirons des premières équations (1) les valeurs dex y z :
0M« — a« ÔM" — fr« ÔM' — Ci
En écrivant que a?» -h y* + ^ est égale à ôM", on trouve :
portons aussi ces valeurs de xy z dans (16), on trouve, après une légère simplification :
a'(OM' — tf) fc'((}M' — ft«) c'(OM' — c') ^^^' 2V^ "^ '2f.« "^ 27 ""
on élimine facilement OM* entre les équations (20) et (21), on trouve alors, après un calcul facile :
(h* — C'Y (c' — g')' (g' — 6«)» ^' . ''' . £* 4(xV "^ 4v«-A* " 4>.V« ' " Y« ;x» V*
c*est-à-dire
(22) r^* + Ts* + r,« = oV,» -h 6V,« + cV,*
c'est précisément Téquation du complexe de Painvin.
La proposition que nous avons en vue est ainsi entièrement vérifiée, car les droites singulières du complexe de Painvin
11U J. HIGHARI)
sont, comme ou Ta vu, à Tintersection de ce complexe et du complexe (19).
De ce qui précède résulte une construction géométrique de la surface des ondes donnée par M. Darboux. (Comptes rendus, toine 71. Annales de l'Ecole normale , 1889).
Prenons arbitrairement une sphère S, passant par C,, une sphère S, passant par C,. Ces sphères se coupent suivant un cercle r.
Toutes les sphères S, passant par C, ont même plan radical, par suite coupent le plan de r suivant des cercles a ayant même axe radical.
L'axe radical de r et de Tun quelconque des cercles a passe par un point fixe H situé sur Taxe radical commun de tous les cercles a.
, Sur OH comme diamètre, décrivons une sphère ; elle coupe r en deux points P et F ; HP HP' coupent de nouveau r en M et M', et les angles OPM OP M' sont droits.
H résulte alors des propositions précédentes que :
1** M et M' sont sur la surface des ondes considérée ;
2° P et P' sont sur la podaire de cette surface, de sorte que les plans tangents en M et en M' sont les plans menés par P et par P' perpendiculairement à OP et à OP'.
3^ PM et PM' sont des droites singulières du complexe de Painvin .
Calculs Aexy z «^y en fonction de deux paramètres.
Les formules que nous allons démontrer maintenant, en les rattachant à ce qui précède, sont celles qu'emploie M. Darboux dans la note sur la surface des ondes, citée à propos des lignes asymptotiques.
Nous allons poser :
art +«/« + ;?« = r\ «^ -h ,5» -I- y« = ^*.
L'équation (16) où OM est ibconnue, a pour racine r et une autre /^ de même l'équation (12) ou OP est Tinconnue, a pour racine o, et une autre racine ^\ Nous allons d'abord calculer xy z en fonction de r et r , «3^ ©n fonction de p et &', nous chercherons ensuite les relations entre ces deux couples de variables.
On a les formules :
X* + if + -' = r* (23) ' âr^' h' — 7« 7~-^' " ''
de nos deux dernières équations on tire des quantités proportionnelles à x' y* z' en procédant comme pour les coordonnées elliptiques. La première équation fournit alors le facteur de proportionnalité, et Ton trouve finalement :
(24^ x^ = b'o' (a' - na' - n
et deux autres formules analogues On a de même :
et l'on déduit de là :
(26^ p'(p' - g' Xp" - «•)
et deux autres formules analogues.
Voyons quelles relations existent entre r, f et o, p'.
Si Ton élimine a entre les équaùons (1) et (4), on trouve :
élevons au carré, et remplaçons x' et a» par leurs valeurs, on trouve, toutes réductions faites :
(27) feV(f • — a')(p« — a') = pV(r* — a«)(p'' — a*).
Cette formule et les deux analogues ne sont autres que les formules (24) de la note de M. Darboux.
Si Ton pose :
/If) = (Ç - aM(Ç -//«){? -^')
on a l'identité
en elïet, les deux membres sont du deuxième degré en ?, d'après les formules (27), ils sont égaux pour trois valeurs de ç, qui sont a' b* et 6* ; ils sont donc identiques.
Les formules (24) ne diffèrent que par les notations des formules que nous avons déjà trouvées, pour représenter la surface des ondes.
Il suffirait de poser r» = x, /« = il en résulte que les
que les lignes r = constante sont sur les sphères x* + ?/' + z^ = r«, et les lignes r = constante sur les ellipsoïdes
Nous voulons maintenant étudier les courbes p = constante. Il nous suffit pour cela d'avoir p en fonction de »• et r'.
En faisant dans l'identité (28) ç = r" , on fait disparaître p', et l'on a : -»
— or'*(r« — a*)(r* — A«)(r« — c>) = a'b*c^(r* — r'*)
nous allons maintenant remplacer r' par x* + «/* + z* et r" par ,-, --.— ; j— — . Nous remarquerons de plus que d'après 1 équa-
tion de la surface des ondes le produit (a'** + 6«t/'+c'^«){a?'+j/*+-') est égal à a»(t» + c^)x^ + i»(c« + a«)//« + c'(a» + 6M-* — «'^'c*. il en résulte l'équation.
?«[(x* + //« + z^Y — (^* + ?/• 4- -«')(«' +b^ + c«) — (a«x> + 6»/y* + c«rM + a*(t' + c»)j* + i«(c« + a«)j/' + cM«* + h^)=>^ — ^*'>*c' = o.
C'est l'équation d'une cyclide. On sait que ces sortes de surfaces sont l'enveloppe de sphères coupant à angle droit une sphère fixe et cela de cinq manières différentes. Ici, trois des sphères fixes se réduisent aux trois plans de coordonnées. Quant aux deux autres, on voit facilement qu'elles ont pour centre l'origine, et que les carrés de leurs rayons sont égaux et de signes contraires
Les cosinus directeurs de la normale à la surface sont ~
Si nous les nommons C C C" nous avons et deux autres formules analogues.
Nous pouvons maintenant former l'équation des lignes de courbure de la surface. Par malheur cette équation qui a une forme compliquée, ne peut être intégrée dans le cas général.
En désignant parR l'un des rayons de courbure principaux de la surface, on a les équations de Olinde Rodrigues.
dx. + RrfC = dy + RrfC = o 'dz + Rd(r = o
In
comme Crfjr + C'd// + CV/ j = o on a d[Cx+C'y + C"z\=xdC-{-iidC' + zdG'
on déduit donc de ces 3 équations.
xdx + ydy + zdz + R[(Ca: + Gy -h (^jj = o
OU : en remarquant que «r + .sy + yj = ?» d'oiï c.r + G'// -f r/j = ?
d'où :
portons cette valeur de R dans la première des formules d'Olinde Rodrigues.
(32) d^dx-rdrdC.
La formule (24) donne :
air — "^rdr ^fdf 2di^
et la formule (30) donne :
2dC 2pd^ 2fi'rfp '
Portant ces valeur de dx et dC dans la formule (32) après quelques réductions et en remarquant que d'après Tégalité (27) on a
et le terme en dr do s'en va ; alors il reste
a^xdpdv __ Gp'rrfrdp' ~ î^* — r^) "" p'« — fl» '
Mais de (27) on déduit a* — r ' et en portant dans cette relation il vient :
a*xd?dr' __ Cp'rdrdy
ou en ayant encore égard à la même identité (34).
a"dpdr' p'rdrdp' "• /»p — b*c*
ou enfin Pour simplifier les calculs posons
la relation précédente devient :
(35) a^h^cHvdu' = m'^dudv
Nous allons conserver les variables u et r ; en faisant ç = u, ç z= î; dans la relation (28) on trouve
(36) a:'bH*(u — t^') n — mi'{(u)
Ces deux équations fournissent u v puis dw' et dd : en portant dans réquation (35) on obtient ;
(38) /lw)dD« + {(v)du^ — \ 2/lr) + (w — v)\f(r)) — ^'1 j dudt) = o.
On ne peut pas intégrer cette équation. C'est pourquoi nous bornerons là ce que nous avions à dire sur les lignes de courbure. M. Darboux a montré dans la note citée que l'intégration pouvait s'eflectuer dans le cas où le polynôme ^ [u) = ul\u) n'est que du 3*^ degré.
L'équation (38) permet de former Téquation du second degré
dont les racines sont les rayons de courbure principaux. Il
dv suffit de remplacer , par sa valeur en fonction de R. Or on a
u = r\ d'où du - trdr de même dv = 2prfp
du pdf
dv rdr
en portant dans (38) on obtient
On peut introduire les segments de normale compris entre le pied et les trois plans de coordonnées.
Nt =
en remplaçant xyr par leurs valeurs ainsi que CGC' On a : [Equation (34)]
et les trois formules analogues.
On a alors :
Nx Ny N.^ = - V^ ^-
et comme v = pS étant la distance de Torigine au plan tangent et que le produit des racines R'R" de l'équation (39) est —on a
„ „ Nx Ny Nî
on a maintenant Ce qui donne finalement :
R' + R'- = !!* Nx — Ni, — Nî .
