PROPOSITIONS DIVERSES

1« Génération par des coniques sphérigties. — Reprenons la définition de la surface des ondes comme surface apsidale d'un ellipsoïde. Il résulte de cette définition que si nous coupons Tellipsoïde et la surface par une sphère concentrique à Tellipsoïde, nous obtenons dans les deux surfaces deux coniques sphériques supplémentaires. En joignant les points de ces courbes au centre 0, on aura deux cônes supplémentaires. Or Tun d'eux a ses plans de sections circulaires parallèles à celles de rellipsoïde, donc l'autre a ses lignes focales perpendiculaires à ces plans.

Il résulte de là que quand le rayon de la sphère varie, les différents cônes obtenus en joignant au centre les points de la section de la surface des ondes par cette sphère sont homofocaux.

On aura défini un mode de génération de la surface si on a un moyen de construire la conique sphérique située sur une sphère de rayon donné.

Or, les foyers de cette conique sont connus, ils sont à Tintersection de la sphère avec les lignes focales. Il reste à trouver comment varie la somme (ou la différence) des rayons vecteurs sphériques de la surface.

Considérons une sphère de rayon 1, les coordonnées d'un point M seront a; = sin o cos 9 y = sin o cos ^ z = cos 0.

Soient F F' les deux foyers d'une ellipse sphérique, les coordonnées de F étant : © = = y, celles de F étant 9 =

Il est facile d'écrire l'équation de cette courbe. Soit M un de ses points, l'arc OM c'est 0, l'angle MOF est égal à ç, les deux triangles MOF MOF' donnent :

cos MF = cos T cos + sin Y sin cos ?

cos MF = cos T cos — sin T sin cos <p

soit MF + MF = 2a MF - MF = 2 > ; en ajoutant et retranchant ces équations on a :

cos a cos X =1 COS y COS

sin a sin X =: sin y sin cos ç

En éliminant / entre ces équations on a :

cos» T COS» sin» y sin» cos» ? .

cos» a sin» «

c'est l'équation de la conique considérée. On aurait une équation toute pareille en supposant MF' — MF constant.

Le cône ayant son sommet à l'origine et contenant cette courbe a pour équation :

2» cos» Y , X* sin» Y , , , , ,

cos» a sin»#*

ou :

sin» a cos» Y — cos» a COS» a

en identifiant cette équation avec celle du cône

on trouve sans peine :

1 * COS* a , Sin* a +

et de plus on pourrait calculer cos y, mais cela est inutile, puisque nous connaissons d'autre part les foyers de la conique.

La relation précédente fait connaître a en fonction de p ; sur chaque sphère de rayon p on connaît les foyers et le grand axe de la conique sphérique, on saura donc la construire.

2*^ Surface de l'onde en coordonnées elliptiques. — Cette équation est donnée par Salmon dans son traité de géométrie analytique à 3 dimensions.

Nous avons trouvé dans le chapitre précédent (Equation 15) une forme d'équation de la surface de Tonde montrant immédiatement que cette surface est Tintersection de la sphère :

avec la surface ayant pour équation :

+ ^~—r, + ir:-^ : -i = o

Or quand on fait varier R, on obtient une série de surfaces homofocales. R' étant, pour les points réels de la surface des ondes toujours compris entre a* et c\ ces surfaces homofocales sont des hyperboloïdes à une nappe (R* > h') ou à 2 nappes (R' < b').

Pour avoir Téquation de la surface en coordonnées elliptiques, envisageons les coordonnées elliptiques x a v d'un point P dont les coordonnées cartésiennes sont xy z.

L'équation

doit être satisfaite par t = à t = u t = v, en écrivant que la somme des racines de l'équation est x -^ p. + v on trouve de suite

Une sphère de rayon R a donc pour équation :

tandis que la surface homofocale du système considéré qui coupe cette sphère sur la surface des ondes est :

;jL = R« OU V = K\

Prenons par exemple y. = R* ; on aura en éliminant R' entre cette équation et celle de la sphère,

X + V =: a« -f fc* + c>

C'est Téquation de la, nappe de la surface des ondes engendrée par des lignes situées sur les surfaces /* = const. Ce sont des hyperboloïdes à une nappe {^ > h). On obtient ainsi la nappe extérieure de la surface.

De même > + a — a' + ft* + c' représente la nappe intérieure et u + y^ = a' -^ b* + e* représente la nappe imaginaire.

Considérons en particulier la nappe de la surface représentée par l'équation :

Si on fait x constant dans cette équation, a est constant aussi : Cette ligne est donc une ligne de courbure de l'ellipsoïde x = Const . On voit de môme que l'autre nappe x + v = a' + // + c' est coupée par le même ellipsoïde suivant une ligne de courbure de ce même ellipsoïde ; cette ligne appartient à l'autre système.

11 est facile de vérifier que les surfaces v = constante, coupent à angle droit toutes les surfaces © (X, .x) = constante. Ainsi l'hyperboloïde V = constante coupe à angle droit la nappe x + u = constante, tandis qu'il coupe l'autre nappe X -f- V z= constante suivant une ligne de courbure de cet hyperboloïde.