SUR LA SURFACE ACCESSOIRE DU COMPLEXE DE PAINVIN

Les relations du chapitre précédent étant conservées, le plan tangent à la surface des ondes a pour équation :

Lorsque p reste constant et que p» varie, ce plan enveloppe une développable qui, d'après ce que nous avons vu, est formée de droites singulières du complexe de Painvin, et a par suite son arête de rebroussementsur la surface accessoire.

Ceci fournit un moyen d'obtenir cette surface.

Prenons les deux dérivées successives de (1) par rapport à pv

Ces dernières équations donnent des quantités proportionnelles à xy z.

- K\/ib^ cM-<P^~^>'~'*'

et des quantités analogues pour ij etz

portons dans la première équation, pour déterminer K, nous

obtenons après quelques réductions :

^^ oV/[(p«-aM(?"-fr')(p''~r')

et par conséquent :

V^(P' — «Mfûf^ — b' lia» — r*l v/(p» — b')(h' — c*)(h^ — a')

on trouve facilement les équations des lignes p= constante sur les plans de coordonnées, et celle du cône ayant pour sommet Torigine et passant par une ligne g = C^% ce dernier cône a pour équation :

On peut se proposer de résoudre relativement à la surface accessoire, différentes questions. Il est naturel de chercher ses lignes asymptotiques.

Mais la proposition suivante dispense défaire cette recherche.

Elle se trouve démontrée dans Touvrage de M. Kœnigs sur la géométrie réglée.

Quand les coordonnées d'une droite s'expriment en fonction de deux paramètres .x, v, de façon à satisfaire toutes six à une même équation aux dérivées partielles du second ordre, les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface focale de la congrueiice formée par ces droites.

Admettons cette proposition. 11 est facile de voir qu'elle s'ap-

plique ici. En effet, les six coordonnées de Klein d'une droite singulière du complexe satisfont à Téquation :