SUR UNE QUESTION RELATIVE AU COMPLEXE DE PAINVIN
Je me propose ici de chercher quelles sont les surfaces formées de droites singulières du complexe de Painvin et qui ont leur ligne de striction sur la surface des ondes. • En coordonnées Plûckériennes, on a Téquation du complexe :
et en écrivant que la droite, est singulière, et tenant compte de* la relation qui a toujours lieu entre les six coordonnées d'une droite : •
Le plan f\x -h r.rj + r,r = o qui passe par Torigine et par la droite, est, comme on sait, perpendiculaire au plan tangent de là surface des ondes. 11 doit donc coïncider avec le plan tangent au point à Tinfini sur la génératrice de la surface cherchée. Ceci fournit les relations :
i\dr, — r^dr^ i\di\ — r4f\ __ fidr^ — f\df\
en tirant des relations, (2) des quantités proportionnelles à
'•„ n, '«, on a :
1^4 J. HICffAlU)
La somme des numérateurs de ces trois rapports est nulle, ainsi que celle des dénominateurs, Ces équations se réduisent donc bien à une seule. Multiplions ces rapports haut et bas par a* b* r' et ajoutons, on a Téquation :
(* - C) ^-+(«* - «M-r^ + («. - ft,) — ^ =
OU
fct c« c* — a* a* — 6* Ti r, r, = constante.
telle est Téquation du cône directeur de Tune des surfaces cherchées.
Je vais maintenant déterminer l'équation de la ligne de striction correspondante.
Prenons les coordonnées d'un point de la surface des ondes sous la forme :
et les deux formules analogues pour y* et z\ Les droites singulières du complexe de Painvin sont tangentes aux lignes ^ = constante, r^ r, r, pour une pareille droite peuvent donc être pris égaux à
dx dy dz d). dX dk
or \
di fx(a« - é')(a« — c«)
StJR LA SUftï^ACE DES ONDES DE FRESNÈL l2S
d'où
2^ = KhcS/b^=^^\/t:=L^^ (il ^ ). -- a'
K désignant un facteur symétrique en abc.
En portant les valeurs de — -^ r- à la place de r twt dans
l'équation du cône on a après quelques réductions et une élévation au carré :
(X — a») (a— fr») (^ — ^*) =:K(^a— a*) (.«—**) (."— cM
K étant une constante arbitraire. Telle est l'équation très simple des lignes de striction sur la surface. Ces lignes ne sont algébriques que si fc* — c* c' — a^ yi* — 6' ont entre eux des rapports rationnels.
