LES TRANSFORMATIONS DE LA SURFACE EN ELLE-MÊME
Nous nous proposons d'étudier le groupe de transformations qui changent en elle-même la surface des ondes. La considération des équations A B C D et des équations tangentielles correspondantes A' B' G' D' va nous aider dans cette recherche. Il s'agit d'ailleurs, ici, de transformations linéaires.
Comme une transformation ponctuelle change les coniques en coniques, et que les coniques delà surface des ondes (autres que les coniques doubles, dont il sera question plus loin) sont dans les plans de coordonnées et le plan de l'infini, les transformations ponctuelles que nous étudions ne doivent pas altérer le tétraèdre T, formé de ces quatre plans.
De même les transformations dualistiques changeant les coniques en cônes ou cylindres ne peuvent que changer les faces du tétraèdre T dans les sommets de ce même tétraèdre et inversement.
Donc si nous désignons par x^ x^ x^ x^ les coordonnées homogènes ponctuelles d'un point par u^ u^ u^ u^ les coordonnées tangentielles d'un plan, les transformations ponctuelles cherchées sont nécessairement celles qui changent x^ x^ x^ x^ en kiXi kjXj kaXoL A-piTg, les ki étant des constantes et ija^ étant une permutation des nombres 12 3 4.
De même les transformations dualistiques changent x^ x^ x^ x^ en kiUi kjUj kMx fc?wp.
Nous avons à chercher trois espèces de transformations, selon que ces transformations effectuées dans la forme (A) changent cette forme en elle-même ou en l'une des sept autres formes B C D A' B' C U.
Nous allons procéder d'abord à la recherche des transformationg dualistiques, car en faisant deux transformations à la suite l'une de l'autre, nous obtiendrons les transformations ponctuelles.
Cherchons d'abord à transformer A dans A'. On ne peut pas transformer à la fois le cône x' +y' +z'= o dans u' + c^ + w*=o
eta«a:« + fcy + c'z"= dans — -1-7; + — = 0. C'est pourquoi il faut chercher à transformer le cône isotrope dans la conique
-: + t; + "t~^» ®tl® c^ûe a'x* + b'y* + c'z* = o dans le cercle a* c
de l'infini. On y parvient en possant :
Portons ces valeurs de uv w dans la forme A', on voit que
pour obtenir la forme A, il faut prendre >^ = ± . .
On aura donc :
bc ca 00
Ces transformations sont des réciprocités polaires par rapport à l'une des 8 surfaces
oc ca ab
Ces transformations changent le centre de la surface dans le plan de Tinfini, et chaque plan de coordonnées dans le point situé à l'infini dans la direction perpendiculaire.
Nous nommerons ces transformations les transformations Sj en leur adjoignant les quatre symétries par rapport aux plans de coordonnées, les quatre symétries par rapport aux axes, la symétrie par rapport à Torigine, on forme un groupe de transformations.
D'ailleurs, chaque transformation S forme elle-même un groupe, puisqu'elle est réciproque.
On pourrait chercher des transformations de la forme
u = \ax V = \cz w = iby.
On constaterait qu'il n'en existe pas.
Observons encore que les transformations définies ci-dessus changent la forme B dans la forme B', C dans O et D dans D' et
qu'il n'y a pas d'autres transformations possédant ces propriétés.
Au lieu de passer directement de  à B', passons de A à B et de B à B'. Nous savons passer de B à B' par les transformations précédentes. Cherchons à passer de A à B' par une transformation ponctuelle.
La comparaison des termes en (a' + fc») montre que le variable y joue dans Téquation B le rôle de z dans Téquation A.
Nous devons donc faire une transformation telle que les variables yetz soient égales respectivement aux nouvelles variables z et y' multipliées par des constantes.
On constate que les transformations changeant le cône x" '\- y* + z' = dans le cylindre y* + z* = a* ne réussissent pas.
Cherchons donc celles qui transforment le cône isotrope dans le cylindre.
h*y^ -h c's» — b^c* = OU
fit -rï
j'introduis deux variables d'homogénéité / et /' ; je dois poser
alors le cône devient
portons les formules précédentes dans l'équation (A) nous voyons qu'elle devient l'équation (B) à condition de poser en outre
. r "" bc
thcl tirons de là x en fonction de / ^ = nous aurons en faisant
/^. i , bc . iiu' ^ iby
Ces formules très simples définissent des homographies qui, avec les sept symétries, forment un groupe.
Nous appelleronsces homograpliies les transformations Hi, elles transforment le plan x = o dans le plan de l'infini, en échangeant entre eux les deux autres plans.
On aurait de même les transformations Hi changeant le plan y = dans le plan de Tinfini (et la forme A dans la forme C), et les transformations H» changeant le plan z = o dans le plan de l'infini (et la forme A dans la forme D).
Une transformation S, une H^, une H„ une H,, et les trois symétries par rapport aux plans de coordonnées définissent complètement le g^oupe de transformations qui laissent inaltérée la surface des ondes, car elles permettent de passer de la forme A à Tune quelconque des autres formes. *
Nous allons cependant étudier les transformations qui changent A en B'. Pour cela, prenons l'une des transformations H,, qui changent A en B, et l'une des transformations S, qui change B en B'.
En remplaçant dans les formules (Si)xyz par leurs valeurs tirées des formules (H.) on trouve :
oif ax ax
je nomme ces formules les formules (Pi) mais je vais les distinguer en plusieurs autres suivant la nature des signes. Le plan correspondant au point (/y V) a pour équation :
OU encore
± ai(x ±x') -\- (yz' ± zy') = o.
Trois cas sont à distinguer.
V cas : forme :
± ai(x + ar') + yz' + zy' = o.
C'est le plan polaire par rapport au paraboloïde
yz ± aix = o,
on a ainsi deux réciprocités polaires S'i .
2* cas : forme :
± ai(x — xf) + yz' — zy' = o.
C'est le plan focal du point (ry'z) dans le complexe
± air^ + ri = 0.
Nous désignerons toujours par r.rjtTAr.rt les coordonnées plûckériennes d'une droite.
On a donc deux réciprocités focales Fi.
3* cas : formes :
± ai(x — x') -f- yz' + jj/* = o ± ai(x + x') + yy — zy' = o.
Ces formes ne sont pas réciproques, mais les transformations qu'elles donnent se réduisent aux autres accompagnées d'une symétrie, il y a 4 transformations de cette espèce ; nous les nommons E,.
Nous avons en tout 8 transformations changeant A en B. 11 y en a de même 8 (F, S'i E.) transformant A en C et enfin 8 transformant A en D' (F, S\ EJ.
Le groupe contient ainsi 32 transformations ponctuelles (en comptant la transformation identique, et les symétries qui changent la forme A en elle-même) et 32 transformations dualistiques, dont 14 polaires, six focales et 12 non réciproques.
Nous allons maintenant nous occuper des six transformations focales. Nous appelons F^ la. transformation qui change le point xy'z dans le plan représenté par l'équation :
(1 ) yz' — zy' + ai(x — ^r') = o
et F', la transformation changeant ce même point dans le plan
(2) yz' — zy' — ai(x — x) = o.
Je dirai que F^ et F'^ sont conjuguées.
Les transformations conjuguées Fi F', transforment le même point dans les plans :
(3) et (4) zx' — xz' ± bi(y r- //) = o.
Enfin F, F, transforment encore le même point dans les deux plails
(3) el (3) xy', —i yx' ± ci(z — z') = o.
Si Ton fait d'abord la transformation Fi le point x^yz' donne le plan représenté par Téq nation (1), puis la transformation F', change ce plan dans le point xy"z' tel que Téquation
yz" — zy" — ai(x — sf')
soit identique à l'équation (1) ce qui donne
Le produit de 2 transformations conjuguées est donc une symétrie par rapport à Tun des axes de coordonnées.
Cherchons le produit de deux transformations non conjuguées, F, et F» par exemple.
En identifiant les deux équations :
(7) zx' — xz' + H(y--'y') = o
(8) xi/' — yxi' -\-ci{z — z) = o,
on trouve:
bc ciz" , biy"
C'est une des transformations H, elle est réciproque, car si Ton change dans les formules (9) ien — c, ren — fc, y'etz dans z et y', y" et z" dans ::" eiy' cela ne fait qu'échanger x^yz en xy"z dans les équations (7) et (8) en échangeant aussi Tordre de ces deux équations.
11 est clair que pour avoir F, x F', il suffit de remplacer c par
— e dans les formules (9), ce qui donne uneautre transformation Ht, également réciproque.
Ainsi, si ij h sont les nombres 1, 2, 3rangés dans un certain ordre, le produit de deux transformations F» F^ ou Fi F} est une transformation Hk , réciproque.
Il est clair d'ailleurs, à cause de cette réciprocité même, que le produit ne dépend pas de Tordre des transformations.
En multipliant les unes par les autres, de toutes les façons possibles, les transformations F, on obtient un groupe qui contient, comme transformations ponctuelles :
1° La transformation identique F'i = 1 .
2^ Les trois symétries par rapport aux axes F» x F,.
3*^ Quatre transformations Hi, quatre transformations H, et quatre transformations Hi. Fi x Fy, F» x F^, F'^ x Fj, F'* x F^, sont les 4 transformations H^.
Cela fait seize transformations ponctuelles ; il est facile de voir qu'il n'y en a pas d'autres.
En multipliant ces transformations par une transformation dualistique quelconque du groupe, on a 16 transformations dualistiques. Il n'y en a pas d'autres, car en multipliant une transformation dualistique quelconque du groupe par uneautre, on doit retrouver une des 16 transformations ponctuelles.
Dans le groupe des 64 transformations, on obtient ainsi un sous-groupe de 32 transformations. On obtiendrait les 64 transformations en multipliant chacune des 32 transformations par une quelconque des autres.
Ces autres ne forment évidemment pas un groupe.
Le groupe des 64 transformations s'apellerale groupe G, celui des 32 le groupe F.
Les 32 transformations F sont toutes réciproques, mais ce ne sont pas les seules du groupe G qui possèdent cette propriété.
Relativement aux transformations F, il existe la proposition suivante :
Les six plans homologues d'un même point dans les six transformations F touchent un même cône du second ordre.
En effet, les six plans correspondant au point xyz', passent par ce point ; imaginons qu'on y transporte Torigine, et posons pour abréger :
P = yz' — zy' Q:^ zx' — xz' R = xy' — yx'.
Les équations des six plans (avec la nouvelle origine) seront :
P ± ate = Q±biy = o R±ciz = o.
Les 3 plans obtenus en prenant les 3 signes -h sont évidemment conjugués par rapport au cône ayant pour équation :
-(P + aix)* + J(Q + biyY + -(R -f cizy = o,
mais à cause de l'identité :
Px + Qy + Rz = o.
L'équation précédente n'est pas altérée quand on change i en — i. On en conclut que les 3 plans obtenus en prenant les 3 signes — forment également un trièdre conjugué par rapport à ce cône.
Ces deux trièdres étant conjugués par rapport à un même cône du second ordre, leurs six faces sont tangentes à un même cône du 2® ordre, ce qui démontre le théorème énoncé.
Remarquons aussi que leurs six arêtes sont sur un même cône du 2* ordre.
Corrélativement les six points homologues d'un même plan sont sur une même conique.
Nous avons indiqué dans ce qui précède, comment les transformations Fi transforment les points et les plans ; nous ajouterons quelques mots sur la façon dont elles transforment les droites.
rjtr^r^r^r^ désigneront toujours ici les coordonnées pluckériennes d'une droite, liées par la relation
et les six complexes linéaires qui donnent naissance aux six transformations focales ont pour équations :
r^ ± aiVi = /'s ± Wr, = o r. ± cir, = o,
Ces équations peuvent s'écrire
SOUS cette forme on voit que si l'on nomme X^ «X X, tX, X, tX, les premiers membres, Téquation
donne :
On voit alors que les coordonnés X sont des coordonnées de Klein .
Les 6 complexes sont deux à deux en involution.
Si Ton veut la conjuguée d'une droite quelconque par rapport au complexe X» = il suffit de changer le signe de Xi ; en eflet, la condition pour que deux droites X et X' se coupent est
zX.X'. = 0.
Si la droite X' fait partie par exemple du complexe Xi = et si la droite X la coupe, la droite ( — X,X,X,...) la coupe aussi, car si X'i = la relation s XtX/ = ne change pas quand on change X, en — X< , donc toute droite X du complexe qui coupe la droite X, coupe la droite ( — X,X,X,. . .) ce qui prouve bien que ces droites sont conjuguées.
Il résulte de là que deux droites conjuguées par rapport à l'un des complexes Xj = sont transformées en droites conjuguées par rapport à ce complexe, par l'une quelconque des six transformations, En particulier, une droite dp l'un des complexes se transforme en une droite du même complexe.
Nous n'insistons pas sur ces propriétés bien connues.
Voir Kcmigs. La géométrie réglée et ses applications, où les propriétés de six complexes en involution deux à deux sont étudiées complètement.
J'ajouterai quelques mots sur l'espèce de transformation ponctuelle que l'on obtient en faisant Tune après l'autre, deux
transformations focales ; c'est-à-dire sur les transformations définies par les formules :
bc . ciz" bii/
Je vais montrer que la droite joignant deux points correspondants M et M' rencontre deux droites fixes Da et qu'elle est divisée harmoniquement par ces deux droites.
Considérons en effet un point sur la droite MM', et la divisant dans le rapport x.
Ses coordonnées sont :
Prenons d'abord \ = + ^ on trouve :
x = \/^Bc •-=—iyj.
c'est une première droite rencontrée par la droite MM'. Prenons ensuite
on trouvera de la même façon une seconde droite :
Les deux valeurs de x choisies étant égales et de signes contraires, on voit bien que les points M et M' et les points où MM' rencontre les deux droites fixes, forment une division harmonique.
Cette transformation est une espèce d'homologie qui a été étudiée par différents auteurs.
Voir en particulier Nouvelles annales de Mathématiques y 1808^ page 489, une étude de cette transformation par M. Ântomari.
POINTS Et PLANS SINGULIERS DE LA SURFACE DES ONDES
Quatre plans, les 3 plans de coordonnées et le plan de rinfini coupent la surface des ondes suivant deux coniques. Ces deux coniques se coupant en quatre points, cela fait 4x4 ou 16 points singuliers. Corrélativement, il y a seize plans singuliers. Nous allons étudier la disposition de ces 32 éléments.
Chaque plan singulier contient 6 points singuliers, situés sur une même conique, suivant laquelle il touche la surface.
En effet, les six correspondances focales font correspondre au plan singulier six points qui sont par conséquent singuliers, ils sont situés dans leur plan focal et sont sur une même conique comme on Ta vu ci-dessus. Cette conique est entièrement sur la surface, car elle la couperait sans cela en 12 points. Le plan de celte conique est d'ailleurs partout tangent à la surface, car il est singulier.
Corrélativement par chaque point singulier passent 6 plans singuliers, tangents à un même cône, le cône des tangentes à la surface en ce point.
Dans ce qui suit nous poserons 6* — c« = A* c* — a* = B« a» — 6» = C\ Coordonnées des points singuliers.
1*^ Dans le plan des yz :
Intersection des coniques y» 4- -• = a» ft*j/« + c*z* = b*c\
ar = li = ± — J = ±
2^ Dans le plan des zx. Intersection des coniques z* +x* = b*
ici] . ia\
3*" Dans le plan des xy. Coniques x^ + y* = c* a*x* + h*}f = a^b*
. ibB . iaA
