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4^ Dans le plan de Tinfini. Coniques j' + //* + j> = o

En prenant les transformés de ces points par une des transformations dualistiques conservant la surface, on a les 16 plans singuliers. Nous nous dispenserons de faire ce calcul.

11 y a, nous Tavons vu, 32 transformations ponctuelles conservant la surface, chacune d'elle change un point singulier en point singulier. Comme il n'y a que 16 points singuliers, c'est que les 32 points, transformés d'un point donné, se confondent deux à deux quand le point est singulier. Effectivement, les points situés dans l'un des plans de coordonnées se transforment en eux-mêmes par une symétrie relativement à ce plan^ et les uns dans les autres, par les autres symétries.

Les points à l'infini ne sont pas altérés par une symétrie relative à l'origine. Les autres symétries les transforment les uns dans les autres.

Parmi les plans singuliers, il y en a quatre parallèles à chacun des axes de coordonnées, et quatre passant par l'origine.

Dans les six correspondances focales, l'origine a pour plans focaux les plans de coordonnées ; donc les foyers des plans singuliers passant par l'origine sont dans les plans de coordonnées. Aucun de ces points n'est à l'inOni.

Dans les six correspondances focales, le plan de l'infini a pour foyers les points à l'infini sur les axes. Donc, les plans singuliers contenant les quatre points singuliers à l'infini sont parallèles aux axes. Aucun de ces plans ne passent par l'origine.

11 résulte de là qu'un plan singulier parallèle à l'un des axes contient deux points singuliers à l'infini. Ces points étant sur le cercle de l'infini, la conique de contact du plan singulier avec la surface des ondes est un cercle.

Considérons deux cercles doubles, situés dans des plans parallèles au même axe, OX par exemple. Ils ne passent pas

par les mêmes points à Tinfini, puisque les points à Tinfini par lesquels ils passent ne sont pas sur OX. Ces deux cercles, à cause delà symétrie de la surface, sont symétriques par rapport à l'un des plans de coordonnées passant par OX, ils coupent donc ce plan aux mêmes points.

Il résulte delà que ces deux cercles sont sur une même sphère.

Le fait que les coniques doubles dont les plans ne passent pas par l'origine sont des cercles peut aussi être démontré par des considérations de géométrie élémentaire.

Salmon, dans son traité de géométrie à 3 dimensions, procède de la façon suivante : 11 démontre en premier lieu les trois lemmes suivants :

1° Si un angle droit a un sommet fixe, et si ses côtés décrivent deux plans fixes, le plan de l'angle enveloppe un cône du deuxième ordre tangent à ces deux plans fixes.

Prenons un plan de projection parallèle à Tun des plans fixes, et soit MN la trace du second plan fixe sur ce plan de projection , soit le point fixe, projeté en P. Soit OB l'un des côtés de l'angle droit, situé dans le plan OMN et coupant MN en B, BT perpendiculaire à OB est parallèle à l'autre côté de l'angle, c'est la tracé du plan de l'angle sur le plan de projection. D'après le théorème des 3 perpendiculaires, l'angle PBT est aussi droit. Mais alors BT est la tangente à une parabole, dont P est foyer, et MN tangente au sommet. Le cône *de sommet 0, ayant pour base cette parabole est donc l'enveloppe cherchée.

2° La perpendiculaire menée par au plan OAB engendre un deuxième cône supplémentaire du précédent. Sa base est la polaire réciproque de la parabole par rapport à un cercle de centre P, c'est un cercle passant par P.

rp^ Si un point M d'une ellipsoïde décrit une section centrale, la perpendiculaire menée par au plan tangent en M décrit un plan fixe ; c'est évidemment le plan perpendiculaire au diamètre conjugué de la section centrale, car le plan tangent est parallèle à ce diamètre.

Cela posé, supposons que le point M décrive une section centrale circulaire. Comme OM reste constant, le point correspondant de la surface des ondes est sur la perpendiculaire au plan de la section, et OT = OM ; T reste donc fixe. Soit OH la perpendiculaire au plan tangent en M, OK la perpendiculaire au plan tangent en T.

D'après le troisième lemme, OH décrit un plan, TK décrit un second plan parallèle, K décrit le cercle intersection de ce plan, avec la sphère de diamètre OT, OK décrit un cône ayant pour base ce cercle ; le plan tangent en T, perpendiculaire à OK enveloppe le cône supplémentaire .

Conservant la même figure, au lieu de supposer que OM soit constant, supposons que OH demeure constant, c'est-à-dire que le plan tangent en M enveloppe un cylindre de révolution circonscrit à Tellipsoïde ; alors OK est dirigé suivant Taxe de ce cylindre, et le point K est fixe ; OM décrit le plan diamétral conjugué de OK ; OR perpendiculaire au plan MOT, décrit le plan perpendiculaire à OK. Par conséquent (2*^ lemme) OT perpendiculaire au plan MOR, décrit un cône ayant pour plan de section circulaire le plan perpendiculaire à OK. Donc le lieu de T est un cercle. (Salmon : Geometry of three dimensions).