A DEUX DIRECTRICES

1 . — Si une surface du 4® ordre est réglée, elle admet une ligne double, qui se compose en général de deux droites.

Soit, en effet, M un point de la surface. Le plan tangent en M contient la génératrice passant par M, et une cubique de la

surface. Outre le point M, cette cubique coupe la génératrice en deux points. Ces points sont singuliers, sans quoi le plan tangent serait le même qu'en M, ce qui contredirait la loi bien connue de distribution des plans tangents.

11 y a donc sur la surface une ligue singulière. Cette ligne n'est pas coupée ailleurs par le plan tangent considéré, si la cubique n'a pas de points doubles ; cette ligne est donc du 2"" ordre. Ce n'est pas une conique, car la surface se réduirait à un plan. C'est donc un système de deux droites, qui seront en général distinctes. C'est le seul cas que nous considérerons.

La surface peut, dès lors, être définie de la façon suivante. On considère dans l'espace deux droites quelconques D, a, et une cubique plane r rencontrant les deux droites en P et Q. Une droite mobile rencontrant D a r engendre la surface. Soit A un point de D, le plan Aa, coupe le cône Ar suivant trois droites, dont deux seulement sont mobiles, la 3^ est la droite AQ. Ainsi, par tout point de Tune des deux droites D, a passent deux génératrices. Au contraire, par un point P de r ne passe qu'une génératrice, l'intersection des plans PD, Pa.

2. — Etant données deux droites D, a, s'il existe entre les points de D et ceux de a, une correspondance qui, à chaque point de Tune des deux droites fasse correspondre deux points de l'autre, la droite qui joint deux points correspondants engendre une surface du 4** ordre .

Pour le démontrer, cherchons en combien de points cette surface rencontre une droite donnée L. Soit x une variable définissant un point M sur la droite D. (Telle que l'abcisse du point, ou le rapport anharmonique de ce point avec 3 points fixes), «x une variable définissant un point M' sur a. La correspondance supposée entre les points M et M' se traduit par une équation de la forme.

(1) A\y + Ba»u + Cm* -f B)} + Eu* -h Fia 4- CA -f- Hu + K = o

souvent appelée relation biquadratique.

Si la droite MM' rencontre en outre la droite L, c'est une gé-

nératrice de la surtace du second ordre définie par les droites D, D'et L, il y a donc entre x et |jl une relation d'homographie.

En éliminant x ou «x entre cette équation et la précédente, on a immédiatement une équation du 4^ degré par rapport à la variable non éliminée. Il y a donc quatre droites de la surlace rencontrant la droite L, qui coupe ainsi la surface en quatre points. Ceci démontre la proposition.

L'étude des surfaces considérées équivaut à Tétude des correspondances biquadratiques entre deux paramètres x et [x. L'étude de ces correspondances se rattache aux fonctions elliptiques (V, par exemple Halphen, fonctions elliptiques, tome 11). Pour les propriétés dont nous avons besoin, les considérations suivantes nous suffiront.

Considérons d'abord deux coniques C et C' dans le même plan, et non tangentes entre elles, à chaque point P delà conique C nous faisons correspondre sur C les deux points P' de contact des tangentes issues de P. Alors à chaque point P' de la conique C correspondront sur C les deux points où la tangente en P' coupe C.

: Si l'on exprime les coordonnées des points de C en fonction d'un paramètre /, ceux de C en fonction d'un paramètre «x, on aura ainsi entre C et C une correspondance biquadratique.

Toute correspondance biquadratique peut être obtenue de cette façon, ^n effet, supposons l'équation (1) donnée et prenons arbitrairement une conique C, les coordonnées d'un point de cette conique étant des fonctions données d'un paramètre x.

Prenons un point Po (lo) sur C, soit [xô l'une des valeurs de ^ que l'équation (1) lui fait correspondre, et >i, l'autre valeur de x qui correspond à la même valeur :xo. Soit jx,, l'autre valeur de {X qui correspond à x, et x, l'autre valeur de x qui correspond à «x,. Soit X, l'autre valeur de x qui correspond à k, et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi 5 droites W x^x, x,x, x,x, et x,x,. Construisons une conique tangente à ces 5 droites, ce sera la co-

nique C'. La conique C étant déterminée, sa représentation paramétrique ne Test pas encore, on peut se donner les valeurs du paramètre qui correspondent à 3 points. Soient donc prises les 3 valeurs \lo \l, [x, du paramètre pour les points où les droites Xo\, W, W touchent la conique C La représentation paramétrique de C est alors déterminée, et les deux coniques C et|C' définissent une correspondance biquadratique unique.

Je dis que c'est précisément la correspondance définie par réquation (1). En effet, soit f{K[^) = o, Téquation de la correspondance définie par nos deux coniques : on aura les relations :

en outre les relations AV) =o f(\^,u) = ç auront une solution commune /, et fli^^u) = o ([i^^u) = o en auront une autre u\. Cela fait 8 conditions qui, il est bien facile de le voir, déterminent les coefficients de la relation f(\a) = o.

Les propriétés de la correspondance biquadratique se ramènent maintenant aux propriétés de deux coniques.

Les deux coniques se coupent en quatre points. On en conclut sans peine qu'il y a quatre valeurs de x (x, x, x, \) pour lesquelles les deux valeurs de [x sont égales. Nous nommerons [l\ fx', ix', |x', les valeurs de \^ qui correspondent à x, x, x, x,.

Les deux coniques ont quatre tangentes communes. On en conclut qu'il y a quatre valeurs de fx (fx, |x, jx, y.,) à chacune desquelles correspondent deux valeurs égales pour x. Soient x\ x', X', X', ces quatre valeurs correspondantes de x.

Théorème /. — Le rapport anharmonique (x, x, x, x^) est égal au rapport anharmonique («x, fx, p., jxj.

Ceci revient à démontrer que le rapport anharmonique des quatre points communs à deux coniques, considérés comme appartenaot à la première conique est égal au rapport anharmonique des quatre tangentes communes à ces deux courbes, considérées comme appartenant à la seconde conique. •

Or ceci résulte instantanément de ce qu'on peut transfor-

mer Tune des coniques dans Tautre par polaires réciproques.

Voici un corollaire immédiat de cette proposition. Considérons une cubique plane r, et deux points P et Q sur cette courbe. Si un point M décrit r il est facile de démontrer que entre les coefficients angulaires de PM et QM il y a une correspondance biquadra tique \ \ x, x^ correspondant aux quatre tangentes issues de P, [i, u, |x, jx^ aux quatre tangentes issues de Q, donc le rapport anharmonique des quatre tangentes issues d'un point P à une cubique est indépendant de la position du point P. C'est un théorème bien connu .

Théorème II. — Les points ^\^\ '>\'^\ par exemple, et des couples (convenablement choisis) x/a„ x,x,, sont quatre couples correspondants d'une même involution.

Cela équivaut à dire que les droites joignant 2 à 2 les points de contact des tangentes communes avec la conique C, savoir : x',x', et x',x\, et les droites joignant (dans un ordre convenable) les points d'intersection des deux coniques W, W, sont 3 droites concourantes. Or. ceci résul'e immédiatement de ce que x,x„ et x,x, concourent en un sommet du triangle antopolaire et que les tangentes communes en x\x\ ainsi que les tangentes en x',x\, ont leurs points de concours sur un côté du triangle autopolaire, qui est, si les points sont accouplés convenablement, le côté opposé au sommet précédent.

On voit qu'il y a trois manières d'obtenir une involution ; une correspondant à chaque sommet du triangle autopolaire.

On tirerait encore facilement de là une proposition relative aux cubiques.

Revenons maintenant à notre surface. Il y a sur la droite D quatre points dits de ramification \ x, x, x, par chacun desquels passent deux droites confondues, déterminant sur la droite a les quatre points doubles [i\ ji', jx', ^\. De même, il y a sur la seconde droite quatre points de ramification u. auxquels correspondent sur la !'• quatre points doubles x*.

Voici d'autres modes de génération de la surface qui présen-

tent de Tintérêt. Soit P ud point de la droite D, Q un des points correspondants sur a. Par un point R de la génératrice PQ menons le plan tangent, qui coupe la surface suivant la droite PQ et suivant une cubique r passant par PQR. La surface est alors engendrée par une droite rencontrant Da et la cubique plane r assujettie à rencontrer ces deux droites. 11 est visible que par un point M de la cubique, il passe une seule droite intersection des plans MD, Ma. Si on prend sur la droite D un point A, le plan A a coupe la cubique en 3 points, le point Q et deux autres «, «^ les droites A» A^^ sont celles qui passent par A. Il résulte de là que si la droite Qa est tangente à la cubique en a, le point A est un point de ramification. Ainsi les points de ramification sur D (et les points doubles sur a) correspondent aux points de contact des tangentes issues de Q à la cubique.

Par P menons une tangente Pjià r, par Q une tangente Qv à r (jx etv étant les points de contact). Si p coupe de nouveau la cubique en ^, on sait que la tangente en ci passe par le point R.

Soit P.u' une autre tangente à r. Joignons ;xVr qui rencontre de nouveau la courbe r en v\ La tangente en '' passera par Q d'après le théorème déjà invoqué.

Considérons les points où PQ, jxv, {x/ coupent r, ce sont: Le point R, le pointa, et le point a. Ces 3 points Siont en ligne droite car la tangente en a passe par R. Donc PQ, «xv, |xV sont sur un même conique C.

Considérons la quadrique S déterminée par C, D, a. Comme C contient .av rjiV, et que jx et jx' correspondent à des points de ramification ;x, |x, par exemple sur a, et à des points doubles x\\\ sur D, S passera par les génératrices doubles :x, x'^ îx,>', et de même par \A \^\. On trouverait d'autres quadriques contenant d'autres systèmes de génératrices doubles, mais celle-ci nous suffira, pour arriver à un autre mode de génération de la surface.

Soit F = l'équation de la quadrique S.

11 existe un réseau de surfaces du 2® ordre tangentes en w, iJt^jjL, aux génératrices passant par ces points.

Il y a d'abord la surface F= o qui contient ces droites, puis toutes les surfaces passant par les 4 droites x,ix,, jx^x,, x^a,, .^x, ; car le plan \[l,\, par exemple qui touche ces surfaces en }x, contient la droite D, et par suite la droite u.,i\.

Ces surfaces forment un faiscepiu ^ -{-k^=zo par suite toutes les surfaces du réseau

répondent à la question.

Il y a une seule de ces surfaces passant par deux points donnés et par suite une seule touchant une droite en un point donné.

Considérons une de ces quadriques w, touchant PQ en un point donné. Considérons la surface engendrée par une droite rencontrant Da et touchant e. Il est visible que cette surface est une surface du 4® degré de Tespèce de celles que nous considérons. En effet, à un point A de D correspondent sur a les deux points où le cône de sommet A circonscrit à ^ rencontre a. Il est visible que x, x, {x, .u, sont des points de ramification pour la nouvelle surface, avec les mêmes génératrices doubles. Coupons cette surface par le plan de la cubique r, on a une autre cubique r passant par P et Q et touchant aussi en [la' w' les droites Pjj^ Ph^' Q v Qv . Cela fait dix points communs à r et à r, [a, jx', v, v' comptant pour deux. Donc r coïncide avec r . Ainsi :

La surface du 4^ degré considérée peut être engendrée par une droite rencontrant deux droites fixes et touchant une quadrique.

Cette quadrique varie quand on fait varier le point où h touche PQ .

Les surfaces du 4® degré considérées admettent ainsi une infinité de quadriques inscrites.

30 J. HICHARD