TANGENTES DOUBLES DE LA SURFACE DES ONDES
Soit P un point de la surface des ondes. Le plan focal de P relativement à Tun des six complexes est un plan tangent à la surface. Soit M le point de contact. A cause de la réciprocité, le plan focal de M est le plan tangent en P. La droite MP est ainsi tangente à la surface en deux points M et P, c'est une bitangente. Ce raisonnement suppose toutefois que le foyer du plan tangent en P ne coïncide pas avec le point P.
Ainsi, toute droite de l'un des six complexes qui est tangente à la surface, est une bitangente, à moins que le plan tangent au point de contact ne coïncide avec le plan focal de ce point dans le complexe.
Par le point P pris sur la surface, passent ainsi six bitangentes. Ce sont les seules, car le plan tangent en P coupe la surface suivant une quartique ayant un point double en P, et l'on peut mener à cette courbe six tangentes par le point double.
Considérons Tensi^mble de toutes les bitangentes. Cet ensemble se décompose en 6 ensembles ou congruences particulières selon que les bitangentes sont situées dans l'un ou dans l'autre des six complexes.
Ces congruences sont toutes de même ordre et classe, car on peut les transformer les unes dans les autres par des transformations convenablement choisies, n'altérant pas la surface.
Or, voyons quel est cet ordre et cette classe. Dans un plan qui coupe la surface suivant une courbe C, les bitangentes sont les tangentes doubles de C, or C est une courbe de classe 12 car elle n'a pas de points multiples (en général)!
Son ordre étant 4 le nombre de ses tangentes doubles est,
d'après la formule de Plucker ^ [*2(12 ~ i) - 4 - 3i]^ i étant le
nombre des tangentes inflexionnelles 3 x 4(4 — 2) =24, le
nombre des tangentes est donc : ^ W^- - i) - 4 - 72j = 28.
Mais sur ces 28 tangentes doubles 16 sont à Tintersection du planr. avec les 16 plans doubles; il en reste 12, à partager également entre les six congruences qui sont ainsi de classe 2.
On voit de même que par chaque point passent 28 lignes doubles du cône circonscrit à la surface ayant pour sommet ce point. En enlevant les 16 qui aboutissent aux points doubles, il en reste 12, ce qui fait que Tordre de chacune des six congruences est égal à 2. 11 était du reste, évident, que Tordre devait égaler la classe, car une transformation dualistique change en elle-même chacune de ces congruences.
Si Ton voulait chercher dans chaque congruence les droites passant par un point donné P on prendrait le plan focal de P dans le complexe correspondant, ce plan couperait la surface suivant une courbe r. Considérons une tangente à r menée par P : ou bien cette droite serait une tangente double, ou bien le plan focal du point de contact serait le plan tangent à la surface en ce point, or parmi les tangentes menées par P, deux seulement (comptant pour 4) sont doubles ; les points de contact des huit autres sont donc tels que le plan tangent coïncide avec le plan focal. D'où cette conclusion :
Le lieu des points de la surface pour lesquels le plan tangent coïncide avec le plan focal dans Tun des complexes, est une courbe de huitième ordre.
On démontrerait de même la proposition corrélative.
Considérons un point singulier P ; son plan focal est le plan singulier qui lui correspond dans le complexe. Toutes les droites passant par P et situées dans le plan singulier correspondant sont des tangentes doubles qui font partie de la congruence considérée. Il y a ainsi dans chacune des six congruences seize faisceaux plans.
Nous allons étudier la surface formée par les droites de Tune des six congruences qui rencontrent une droite donnée D.
Ces droites rencontrent aussi la droite a conjuguée de D dans le complexe auquel appartient la congruence .
Par tout point de D passent deux droites de la congruence, qui coupent a en deux points ; à chaque point de D correspondent donc deux points sur a et inversement. La surface considérée est donc celle que nous avons étudiée précédemment.
Cette surface passe par tous les points singuliers de la surface des ondes ; en effet, soit M le point où D coupe Tun des plans singuliers, et P le foyer de ce plan, dans le complexe auquel la congruence appartient. PM est une génératrice de la surface, qui passe ainsi par P, et touche de plus le plan singulier correspondant.
Remarquons que le plan focal de M coupe la surface des ondes suivant une courbe ayant un point double en P. L'une des tangentes doubles est venue se réduire à MP, l'autre est restée quelconque. Ce point M ne présente donc relativement à la surface réglée, rien de particulier.
Cherchons sur la droite D les points de ramification et les points doubles. La surface focale d'une congruence est le lieu des points tels que parmi les droites passant par un de ces points, deux soient coïncidentes. Les points de D par lesquels passent deux génératrices confondues, sont donc les points où D rencontre la surface. Soient >.//,*a,;, ces points.
Pour avoir les point doubles, prenons les points de ramification sur A, ce sont les points t^^ a,. u,, a, où a rencontre la surface. Les plans focaux de ces quatre points passent par D et touchent la surface. Ce sont les quatre plans tangents menés par D à la surface. Soient p,p,p,p, leurs points de contact, a,p,, u^p^, .^ap, et unp^ coupent D aux points doubles cherchés, u\u\a\ui.
L'égalité (Àr/,/.,>J = (a,.u,.a,.aj nous fournit le théorème suivant :
Le rapport anharmonique des quatre points où une droite perce la surface des ondes est égal à celui des quatre plans tangents menés par la droite.
Voici maintenant la démonstration d'une proposition importante. Cette démonstration est à peu près semblable à celle
donnée par R. Sturm (lienien géométrie, tome III) pour une surface de Kûmmer. quelconque. M. Humbert a donné une démonstration toute différente dans sa théorie des surfaces de Kûmmer faite à l'aide des fonctions Âbéliennes.
Nous avons vu (1) qu'en accouplant convenîablement les points x,>„ u, .uWa',/o on formait quatre couples d'une même involution, Il en résulte l'égalité.
par exemple.
Au lieu de considérer les droites de la première congruence rencontrant D, considérons les.droites de la seconde congruence. Elles formeront une autre surface, et il y aura d'autres points doubles: v»',/„ quant aux points de ramification, ce seront toujours les mêmes ; on pourra donc écrire :
de même avec la troisième congruence :
on aura ainsi six égalités, et l'on conclut de là que les six points !*>'3?>'3^>'» forment une série projective avec les six points }x>',p\y,T>v En joignant les six points d'indice 3 au point p, les six points d'indice 4 au point p„ et remarquant que p, et p, peuvent être choisis arbitrairement sur la surface, on a la proposition suivante :
Les six tangentes doubles passant par un point de la surface des ondes, forment une série projective avec les six tangentes doubles issues d'un autre point.
Ce théorème est valable pour une surface de Kûmmer quelconque. Pour la surface des ondes, on peut démontrer quelque chose de plus. Prenons pour le point p, un point sur une conique située dans un plan singulier. Les six tangentes doubles
(1) Les notations ne sont pas les mômes qu'à l'endroit cité.
seront alors les droites joignant ce point aux six points singuliers AB C D E F de ce plan. Mais (à cause de la symétrie de la surface) AB, CD, EF passent par un même point (soit Torigine, soH un point à Tinfini sur l'un des axes).
Les droites obtenues en joignant P à ces six points forment donc trois couples de droites en involution. Comme cette propriété est projective, on conclut que : Les six tangentes doubles passant par un point de la surface des ondes sont trois couples d'une même involution.
Nous verrons plus tard que les rayons doubles de cette involution sont toujours rectangulaires et forment deux congruences remarquables.
Considérons les rapports anharmoniques distincts formés par ces six tangentes. Il y enatrois,parexemple(l,2, 3,4) (1,2,3,5) (1, 2, 3, H) ils sont les mômes, d'après ce qui précède, quel que soit le point de contact. Ce sont les invariants de la courbe de genre 2 obtenue en coupant la surface par son plan tangent.
Il résulte de là qu'il existe entre les points de deux courbes sections de la surface des ondes par deux plans tangents une correspondance birationelle.
Considérons de nouveau la surface engendrée par les droites de l'une des six congruences, qui rencontrent une droite donnée D. Ces droites rencontrent a, conjuguée de D et déterminent sur D et A une correspondance biquadratique.
(1) AàV + B/V -h —0,
Cette surface réglée est d'autre part circonscrite à la surface des ondes, que chacune de ses génératrices touche en deux points. A la surface réglée définie par la relation (1) on peut faire correspondre une biquadratique gauche représentée par l'équation. (1) et tracée sur la surface suivante :
hjL 1 i u
par exemple.
> et |x sont alors les paramètres des génératrices rectilignes sur cette quadrique,
Chacun des cas où la biquadratique gauche se décompose, fournit un cas de décomposition de l'équation (1) et par suite de la surface réglée qu'elle représente.
Un seul cas va nous occuper ici, c'est celui où la biquadratique est formée de deux coniques, et l'équation (1) représente deux homographies, La surface réglée se décompose alors en deux surfaces du second ordre.
Il faut et il suffit, pour cela, que la biquadratique gauche possède deux points doubles.
Or, si le point io\>-o est un point double, la génératrice \ = \o et la génératrice .a = ^ coupent toutes deux la courbe en deux points confondus ; cette condition suflBt pour que le point soit un point double, car en un point simple il ne saurait y avoir deux tangentes.
Mais alors pour a = Xo l'équation a la racine double |xo, pour a = |xo elle a en :. la racine double Xo, le point \ sur D, le point i^^o sur A sont alors en même temps points doubles et points de ramification, ou, si l'on veut, il y a sur D deux points de ramification confondus : D touche la surface des ondes. Alors, pour qu'il y ait deux points doubles sur la biquadratique, il faut que D soit une bitangente de la surface des ondes (écartons le cas où D ferait partie de la congruence considérée, parce qu'alorsD et a coïncideraient). La surface réglée se composera donc de deux quadriques, si D est une bitangente faisant partie d'une congruence autre que celle dont font partie les génératrices de la surface.
Le second système de génératrices sera alors formé de bitangentes appartenant à la même congruence que D, car D et a sont deux de ces génératrices, et toutes ces génératrices sont des bitangentes, puisque les quadriques sont inscrites dans la surface des ondes.
Les deux quadriques dont l'ensemble constitue la surface réglée du 4* ordre se coupent évidemment suivant un quadrilatère gauche .
36 J. HICIIARD
Chacune d'elles touche la surface suivant une biquadratique gauche. En effet, un plan quelconque coupe Tune des quadriques, suivant une conique, la surface des ondes, suivant une quartique ; ces deux courbes devant se toucher en leurs points communs, n'en ont que quatre distincts. La courbe de contact de la surface avec la quadrique est ainsi du 4*" degré, et comme elle est rencontrée en deux points par les génératrices de la quadrique, c'est bien une biquadratique gauche.
Nous avons vu plus haut que la surface réglée du 4* ordre passait par les 16 points singuliers (et touchait les 16 plans singuliers). Ici cette surface se décompose en deux quadriques, je vais montrer que chacune d'elles passe par 8 points singuliers (et touche 8 plans singuliers).
En effet, considérons une bitangenle voisine de la droite D, et considérons le couple de quadriques qui lui correspond, soient Q\ et Q, ces deux quadriques Q, et Q, les deux quadriques primitives, Q'^ différant infiniment peu de Q^ passera par les mêmes points singuliers, les deux biquadratiques gauches suivant lesquels Q, et Q\ touchent la surface des ondes ne pouvant se couper en plus de huit points, ces points singuliers par lesquels passe Q, ne peuvent être au nombre de plus de huit. Il n'y en a pas non plus moins de huit, car sans cela Q, en contiendrait plus de huit, puisque Q, et Q, contiennent à elles deux les 16 points singuliers.
Nous allons maintenant étudier les quadriques dont nous venons de démontrer l'existence, voir quels sont les points singuliers que contient chacune d'elles, etc.
1** Il y a 30 systèmes de quadriques inscrites dans la surface des ondes, pouvant être associés deux à deux. Les génératrices de deux quadriques associées appartiennent aux deux mêmes congruences, et l'ensemble de deux quadriques associées contient les 16 points singuliers.
En effet, soient C, C, C^ C, C, C, les six congruences. Si nous considérons une droite de la congruence Ci et toutes des droites de Cj qui la rencontrent, nous formons, comme on l'a vu, deux
surfaces. L'une d'elles passe par un groupe A de 8 points singuliers, l'autre par un groupe B.
Ces deux surfaces Q^; Qn ont, d'après ce qui précède, leurs génératrices dans la congruence C, pour l'un des systèmes, dans la congruence C; pour l'autre système.
On verra comme ci-dessus, en faisant varier infiniment peu ces quadriques, que le mode de distribution des points singuliers en deux groupes A et B ne se modifie pas quand on fait varier ces quadriques en gardant les mêmes congruences.
A chaque combinaison d'une congruence avec une autre,
correspondent ainsi deux systèmes de quadriques. Il y a donc
6x0 en tout — ^- X 2 ou 30 systèmes.
On voit, en outre, qu'à chaque combinaison C,: Cj correspond un mode de distribution des 16 points singuliers en deux groupes de huit points.
2^ Le mode de partage des 16 points singuliers en deux groupes de huit points est défini par la proposition suivante :
Si une quadrique Q^ dont les génératrices appartiennent aux deux congruences d et C; passe par un point singulier P, les 8 points singuliers qu'elle ne contient pas sont dans les plans focaux de P par rapport aux deux complexes contenant ces congruences, et ne sont pas sur l'intersection de ces deux plans focaux.
En effet, soient I et J ces deux complexes, -t et kj les plans focaux de P par rapport à ces complexes. Comme par ces complexes la surface se transforme en elle-même, de ce qu'elle |)asse par P il résulte qu'elle touche -t et ry. Soit Q le foyer de -t dans le complexe J, qui est aussi le foyer de ;:; dans le complexe I. La surface Q/^qui touche -* passera par Q.
La surface touchant rj en un point a le coupe suivant deux génératrices Pa Qz, elle coupe de même -j suivant deux droites PpQ^, en sorte qu'on a un quadrilatère gauche aP^Q sur la surface, «et g varient évidemment quand la surface Q(/ varié dans le système dont elle fait partie.
Mais alors la surface ne saurait avoir dans les plans r.i rj, d'autres points fixes que P et Q, ce qui démontre la proposition énoncée.
3^ Comme application, considérons d'abord les deux complexes conjugués qui font correspondre à un point x y' r les deux plans :
ffz' — zy 4- ai(x — jr') = o yï — zy' — ai(x — x') = o
Ces deux plans se coupent suivant la droite :
x = af yz' — zy' = o
Prenons au hasard un point singulier, par exemple le suivant
ici: m
en conservant une notation admise antérieurement. Nous trouvons les deux plans focaux
Aax + Bby — Ccz = o — Aax -\- ]Mfy — Cxz = o.
Ces deux plans contiennent le point singulier donné et son symétrique par rapport à Torigine.
Les 8 points qui ne sont pas sur la quadrique passant par le point singulier choisi sont :
^ icC , ùiX
, tfrB , mA
Les points qui sont exclus sont donc ceux qui sont contenus dans le plan y — o et dans le plan r = o.
Les points non exclus sont dans le plan .r = o et à l'infini.
Nous pouvons dire, en introduisant le tétraèdre T formé des plans de coordonnées et du plan de Tinfini :
Les qtmdriques qui ont leurs qénéralrices dans deux complexes conjuijués pasrxnt par tous les points singuliers situés dans deux des faces du tétraèdre T.
Envisageons maintenant les quadriques dont les génératrices appartiennent à deux complexes non conjugués.
Par exemple prenons les complexes pour lesquels le point x'y'z correspond aux plans :
ai(x — x) + yz' — zxf •=-0 bi(y — y') + zx' — xz* =
partons toujours du même point
icC ibB
il admet pour plans focaux
kax + Bel/ — Ccz = ky — Bar — wC = 0.
Cherchons comme précédemment les points exclus et les points non exclus.
Un point sera exclu s'il est dans l'un des deux plans précédents sans être dans l'autre.
Les points exclus du plan des yz sont :
^ %cC tèB
il y en a deux ; on voit de même qu'il y a deux points exclus dans chacun des plans de coordonnées.
A l'infmi les points exclus sont:
Ainsi : Si les génératrices d'une surface appartiennent à deux complexes non conjugués, cette surface contient deux points singuliers dans chaque face du tétraèdre T.
Nous avons vu précédemment que les bitangentes à la sur-
40 J. richard"]
face des ondes formaient six congruences de 2"" ordre et de 2^ classe. Chacune d'elles fait partie d'un complexe linéaire. Je vais montrer qu'elle peut être considérée comme Tintersection de ce complexe linéaire avec un complexe tétraédral.
Je m'appuierai sur la proposition suivante :
Les droites qui rencontrent deux rayons correspondants de deux faisceaux homographiques forment un complexe linéaire, si la droite joignant les sommets des deux faisceaux est en même temps Tintersection de leurs plans et se correspond à elle-même dans les deux faisceaux. Elles forment, dans le cas contraire, un complexe tétraédral.
Considérons, en effet, en premier lieu, les droites rencontrant deux rayons correspondants de deux faisceaux homographiques. Nous supposons que les sommets des faisceaux sont P et Q, que leurs plans se coupent suivant PQ et qu'au rayon PQ du premier faisceau correspond le rayon QPdu second.
Soit M un point de l'espace. Cherchons le lieu des droites passant par M et rencontrant deux rayons correspondants P^ et Qa. Les plans PpM, QaM forment deux faisceaux homographiques, et comme au plan PMQ du premier correspond le plan QxMP du deuxième, le lieu de la droite d'intersection de ces deux plans est un plan.
Les droites passant par M étant dans un même plan, le lieu des droites est un complexe linéaire .
En second lieu, considérons les droites rencontrant deux droites correspondantes de deux faisceaux homographiques quelconques.
Soient P et R les sommets, les droites correspondantes Pm Rm' coupent l'intersection des plans des deux faisceaux en M et M', qui sont homographiques, soient Q et S les points doubles de ces deux divisions homographiques, de sorte que PQ et RQ, PS et RS soient des couples de rayons correspondants.
Soit une droite qui coupe PM en p, RM' en «, le plan PRQ en Y, le plan PSR en s. Le rapport anharmonique (a^ys) est égal à celui des quatre plans PRa, PRp, PRr, PRa ou à (M'MQS), il est
donc constant, ce qui démontre que la droite ap est une droite d'un complexe tétraédral .
Revenons à la surface des ondes. Soit P Tun des points singuliers. Q sera dit associé de P dans Tun des six complexes, si PQ est rintersection des plans focaux de P et de Q dans ce complexe. Pour fixer les idées, appelons ce complexe le premier complexe. Les plans focaux :; et t:' de P et de Q se coupent suivant PQ. n' est le plan focal de P et î: le plan focal de Q dans un second complexe.
Considérons une droite Qa du plan - passant par Q ; c'est une droite du deuxième complexe. Les droites du premier complexe rencontrant Qa engendrent une seule quadrique, l'autre se décomposant dans les deux plans 7: et r: .
Cette quadrique coupe tous les plans singuliers qu'elle touche suivant deux droites, une du premier complexe, une du deuxième Toutes ces droites forment donc, quand la quadrique varie, des faisceaux homographiques entre eux.
Considérons une droite de la première congruence II résulte de ce qui précède qu'en joignant les points où elle coupe tous les plans singuliers, à tous les points singuliers de ces plans, on obtient des faisceaux homographiques, les droites de ces faisceaux font partie des différentes congruences.
Soit P un point singulier, Q son associé, k et n' les plans focaux de P et Q dans la première congruence, P sera foyer de 7:', Q foyer de 7: dans une autre congruence. Dans ce cas, les droites rencontrant Qa et Pp forment un complexe linéaire. (C'est nécessairement le premier complexe).
Si, au contraire, on considère deux faisceaux homographiques qui n'ont pas pour sommets deux points associés, les droites qui rencontrent deux droites correspondantes de ces deux faisceaux, forment un complexe tétraédral et la première congruence est contenue dans ce complexe.
Un point a 5 associés et 10 non associés, d'où il suit qu'il y a 40 couples de points associés et 80 de non associés.
42 J. RIGUAUD
Nous allons nous occuper des propriétés d'un des 30 systèmes de quadriques, et des biquadratiques suivant lesquelles ces quadriques touchent la surface des ondes.
Caractéristiques des systèmes : 1« par un point donné il passe deux quadriques de Tun des systèmes, et il y a de même deux quadriques touchant un plan donné.
En effet, par un point donné passent deux tangentes doubles appartenant à lacongruence d, soient Ai et Bû Chacune d'elles fournit deux surfaces, ce qui fait quatre ; sur ces quatre, il y en a deux appartenant à un système, les autres au système associé. Démonstration corrélative pour les plans.
2° 11 y a quatre quadriques de chaque système qui touchent une droite donnée. En effet, soit D une droite, M un point de cette droite. Soit a une droite de la congruence C* passant par M, A' une droite de la congruence Cj située dans le plan Da, et coupant D en M', au point M correspondent deux droites a, à chaque droite a deux droites a', de sorte que, à chaque point M correspondent quatre points M'. — D'après le principe de Chasles, il y a alors huit points M qui coïncident avec leurs correspondants, et par suite huit quadriques touchant la droite donnée, et dont les génératrices appartiennent aux congruences C^ Ce- Comme ces quadriques forment deux systèmes, il y a quatre quadriques dans chaque système.
Ce raisonnement serait en défaut, si, dans les systèmes il y avait des plans doubles, mais il n'y en a pas, car les huit points fixes par lesquels passent les quadriques d'un système ne sont pas situés dans un même plan.
S*" 11 y a dans chaque système quatre quadriques qui sont des couples de plans singuliers. Nous avons vu que les points exclus d'un système Qu sont situés dans deux plans singuliers TÂTj sans appartenir à leur intersection. Comme ces points sont les points par où passent les quadriques du système associé Qji on voit que le système de plans m rj appartient au système Qji. Maintenant P et Q sont deux points exclus du sys-
tème Qji associés dans la congruence I, il y a trois autres cou pies de points associés exclus de Qji (puisqu'il y a en tout huit points exclus de Q;e ). Cela fournit trois autres couples de plans. 11 y a donc bien en tout quatre couples de plans singuliers faisant partie du système.
On a aussi le théorème corrélatif.
Si Ton considère les quatre points singuliers apyo situés dans Tun des plans t:^::; ; les quatre couples de plans singuliers sont évidemment : 1« Le couple m kj ; 2« un couple de plans passant un plan par a?, un autre par ys ; 3° deux plans passant Tun par ayr l'autre par pa ; 4^ un plan passant par aS et un autre par p^-
4« L'équation générale des quadriques de l'un des systèmes est de la forme
(1) /«F + Xy-h-^ = o
F^^ étant trois polynômes du second degré convenablement choisis.
Cette proposition peut paraître évidente : mais pour éviter toute objection, nous allons en donner une démonstration.
Soient f, = o f^ = o f^ = o, trois quadriques contenant les huit points singuliers communs à toutes les quadriques du système que l'on considère, mais ne se coupant pas suivant la même biquadratique.
L'équation générale des surfaces passant par les huit points sera :
En exprimant que cette surface touche la surface des ondes, on n'aura à écrire qu'une seule relation, puisqu'il doit rester un paramètre. Cette relation sera homogène du deuxième degré en otpv, puisque par un point donné il doit passer deux surfaces, cette équation du deuxième degré représentera une conique, et comme cette conique est une courbe unicursale, «p^ seront des fonctions d'un paramètre > :
« = AX* + B> + C S = A'À» + B'). + r; V = A"X* + B"> + C"
En sorte que si Ton pose :
y = B/;+B7, + BY.
.| = cf, + C'A + CY.
Téquation a/; + /3/; + y/; = o deviendra :
Corrélativement, l'équation tangentielle des surfaces de l'un des systèmes est de la même forme^
Corollaire : L'équation de la surface des ondes, enveloppe de ces surfaces, peut s'écrire :
5** G = H = étant deux surfaces (choisies arbitrairement) de l'une des séries, et H un polynôme du second degré convenablement choisi, l'équation générale des surfaces de la série est :
u}G + ue + H = 0.
En effet, puisque les surfaces G = o H = o sont de celles représentées par l'équation (1), on peut écrire :
(ï = a*F + or/f T" y^'i*
dans l'équation (1) remplaçons i par ^^^-^g on voit que, après
avoir chassé les dénominateurs, le coefficient de a» est G, et le terme indépendant est H, ce qui démontre la proposition.
En particulier, soit P = o Q = o deux plans passant par les huit points singuliers du système, R = o S = o deux autres pareils plans. L'équation générale peut s'écrire ;
u}PQ + 'J") + RS =
L'équation de la surface des ondes sera :
fi* — 4PQRS = 0.
La surface des ondes est donc aussi Tenveloppe des surfaces:
u«PR + ae + QS =
et
a*PS -I- /^e + QR = 0.
Le même polynôme suffit donc à trois séries de surfaces. Ces trois séries sont caractérisées par ce fait que les points singuliers par lesquels elles passent sont situés dans les quatre mêmes plans. P z=zO Q=zO R = o S = o. Ces plans forment un tétraèdre dont chaque arête contient deux points singuliers ce qui fait douze points. Pour la première surface, elle passe par les huit points suivants : ceux qui sont situés dans les plans Pz=o Q=zO sans être sur leur intersection, et ceux qui sont situés dans R = 8 = sans être sur leur intersection. Et ainsi des autres surfaces.
Voyons combien il y a de ces tétraèdres. F = Q = sont deux plans singuliers quelconques. R m est un plan singulier ne passant par aucun des points singuliers situés à l'intersection de F = Q = 0, or, par chacun de ces points il passe quatre autres plans, il y a donc pour chaque groupe FQ huit plans qui ne peuvent servir de plans R. Les trois plans F, Q, R étant choisis, le plan S = ne doit passer par aucun des points singuliers situés sur les arêtes du trièdre FQR, ce qui exclut douze plans qui ne peuvent servir de plans S. Il y a
en tout — ^ \-^o l -—-- = ^^ tétraèdres de cette espèce.
Ces tétraèdres se nomment tétraèdres de Gôpel. (Humbert, Mémoire cité). Nous dirons que les surfaces des trois séries appartiennent au même tétraèdre de Gôpel. Nous reviendrons sur ces surfaces un peu plus loin . Cependant nous allons démontrer la pro()osition suivante :
Si deux surfaces appartiennent à un même tétraèdre de
Gôpel, les génératrices de Tun des systèmes de l'une et les génératrices de Tun des systèmes de l'autre ne font jamais partie de la même congruence.
En eflet, Tune des deux surfaces appartient à un système de quadriques dont font' partie les plans P=o Q = o, ; Tautre appartient à une série de quadriques parmi lesquelles se trouve le couple de plans P = o R = o.
Soit Ci Tune des congruehces dont font partie les génératrices d'un système de la'première quadrique. Les droites de C^ situées dans le plan P = o passent par le foyer de P dans le i^™^ complexe.
Soit Cfc Tune des congruences dont font partie les génératrices de la deuxième quadrique. Les droites de Ck situées dans le plan P = o passent par le foyer de P dans le A*^^"'*' complexe.
Si Ton avait i = A, le foyer de P dans le î^""® complexe coïnciderait avec le foyer de P dans le k'^^^. Or, c'est impossible. En effet, l'un d'eux est sur l'intersection de P = o avec Q = o l'autre sur l'intersection de P = o avec R = o. Si ces deux foyers coïncidaient, ils seraient à l'intersection de P = o Q = o R = 0. Or, ce point n'est pas singulier.
Nous démontrerons un peu plus loin la réciproque de ce théorème.
Voici quelques propositions relatives aux biquadratiques suivant lesquelles les quadriques touchent la surface des ondes.
I. — Deux biquadratiques appartenant à deux surfaces de la même série, c'est-à-dire passant par les mêmes huit points singuliers, sont toujours sur une même surface du deuxième ordre.
Faisons en effet passer une surface du deuxième ordre par l'une des biquadratiques et un point de l'autre ; cette surface contiendra la seconde biquadratique, car elle a neuf points communs avec elle.
IL — Toute quadrique passant par une biquadratique coupe la
surface des ondes suivant une deuxième biquadratique passant par les mêmes huit points singuliers.
En «ffet, soit P un point commun à la surface des ondes et à la quadrique donnée, et qui n'est pas situé sur la première biquadratique. Par ce point passe une surface circonscrite à la surface des ondes, passant par les mêmes points singuliers de la surface des ondes.
III. — Deux biquadratiques n'appartenant pas à la même série, c'est-à-dire ne passant pas par les mêmes 8 points singuliers ne sont jamais sur une même quadrique.
Car une quadrique contenant la 1" biquadratique coupe la surface des ondes suivant une biquadratique passant par les 8 points singuliers de la première. Elle ne peut donc coïncider avec la seconde qui ne passe pas par ces 8 points.
IV. — Deux biquadratiques qui ont p points singuliers communs
se coupent, en outre, en dehors de ces p points en ^ (8 — p)
autres points.
Par la V^ r de ces deux biquadratiques faisons passer une surface du 2® ordre S qui coupe la surface des ondes suivant une seconde biquadratique i'.
Par la 2® a des deux biquadratiques données, faisons également passer une surface du 2^ ordre T, qui coupe la surface des ondes suivant une autre biquadratique w
Les 2 surfaces S, T et la surface des ondes se coupent en 16 points, \esp points singuliers delà surface des ondes comptent pour 2 (étant points doubles de l'une des surfaces). li en reste alors 16 — 2p, mais quand S devient inscrit à la surface des ondes r venant se confondre avec r, ces points viennent se confondre 2 à 2, il en reste 8 — p distincts, enfin si T devient
à son tour inscrit dans la surface des ondes, ces 8 — p se con-
fondent à leur tour 2 à 2, il en reste donc ^ (8 — p) distincts,
ce qui démontre notre proposition.
