IL

Fig. 3.

du précédent par / et comme { et 7 sont permutables on a 7, —7Tfn,. Lorsque M décrit le contour M,CM,TM,CM,, 2 subit la substitution % puisque le contour précédent se réduit à [sans rencontrer de singularité de G, le chemin homologue deM,M,CM,.TM,CM, dans E’ est donc Lie, et 1l existe encore une transformation distinguée

de G,T, telle que M! — T,M..

TaforÈèmE. — Sotent T, une transformation de G, M, un point, M, =T,M, son transformé par T,. Lorsque M décrit le chemin de définition M, CM, de T, le transformé M' = TM de M par une transformation quelconque T de G décrit un chemin M, C'M, ; la trans formation T, de G définie par ce chemin et qui fait corres-

pondre M° à M, est distinguée.

Il suffit de remarquer que le chemin »#,cm, homologue de M,CM, est fermé. Le chemin m,c'm, transformé de m,cm, par { est donc également fermé, or m; cm est homologue de M, CM. C. Q.F. D.

Tuiorème. — Étant données une transformation distinguée T, de G et une transformation non distinguée T de G, il existe toujours un contour fermé T, tel que lorsque M décrit T le point

M' = TM subit la substitution T,,.

La démonstration de ce théorème exige une étude approfondie des groupes g et g’, nous la donnerons dans les cas plus particuliers que nous rencontrerons dans la deuxième partie.

15. Définition du groupe (G). — On peut considérer les transformations distinguées de G comme formant un sous-groupe (G) de G. Soient,’en effet, M un point de x, T, une transformation distinguée de G, holomorphe dans un petit domaine D entourant M ; soient M’ et D’ les transformés de Met D par Tet T, une autre transformation distinguée de G-holomorphe dans D’. La transformation T}=— TT, est holomorphe dans D, c’est encore une transformation distinguée. Si T, est une transformation distinguée holomorphe dans un petit domaine D et non uniforme sur a, les diverses déterminations de la transformation T, sont encore des transformations distinguées qu'on doit considérer comme distinctes de T, si l’on se limite au domaine D.

En résumé : Les fonctions y des variables x ne sont pas uniformes; en général, étant donnée une détermination de ces fonctions, on obtient toutes les autres en effectuant sur cette détermination les transformations de (G). Les transformations finies de G& ne sont pas uniformes non plus, en général, et l’on obtient de la même façon toutes leurs déterminations.

En particulier, si (G) se réduit à la transformation identique, les transformations de G& sont uniformes, donc biuniformes puisqu'elles forment un groupe de Lie, et les y sont des fonctions uniformes des +. Lorsqu'on effectue sur les x une substitution de (g'), les y reprennent la même valeur, ce sont des fonctions automorphes relativement à (2”).

V. — Étude de la correspondance entre les transformations de z et G.

/ Comme nous l’avons démontré au début du paragraphe 9 en même temps qu’on définit le prolongement analytique des fonctions g, on établit une correspondance entre les transformations finies de g et G.

46. Taforème. — À une transformation de G correspond une transformalion de g et une seule.

Soient M, un point de 3%, M,CM, un chemin définissant une transformation T telle que M, — TM,, soient m,,c, m, les éléments correspondants de E/. Supposons un instant qu’en suivant un autre chemin C/ allant de M, à M,, on obtienne la même transformation T mais que les éléments homologues de E' m,,c', m°,{' ne soient plus les mêmes. A la transformation T pourraient donc correspondre deux transformations 4, /'. Le contour fermé M, CM, CM, correspond au

chemin m,cm,c'm! (fig. 4); d’après ce que nous avons vu, la

Mo

Fig. 4.

transformation + qui fait passer de m, à m' est permutable avec toutes les transformations de g ; or % appartient à g puisqu'elle est l’homologue de la transformation TT-' de G qui fait correspondre M, à lui-même ; en vertu des hypothèses, x se réduit à la transformation identique et { — (.

On démontrerait de la même façon le théoréme suivant :

Taéorème. — Si deux transformations T et T’ de G correspondent à une même transformation de g, T'T' est une transformation distinguée de G.

Ainsi que nous l'avons vu T n'est pas uniforme sur at et T' = T,T est une branche de T; on peut dire si l’on veut qu'à une transformation de g correspondent les diverses branches d’une seule transformation de CG.

Cas particulier : Ces considérations s’éclaircissent si l’on’ suppose les transformations de G biuniformes. Dans ce cas, la correspondance entre les transformations de g et G est biunivoque. Ce fait est

remarquable, car il ne se produit pas pour les structures de groupe autres que celles que nous considérons :

Considérons, par exemple, une courbe algébrique de genre 1 qui admet un groupe continu G de transformations birationnelles en elle-même ; G est semblable au groupe g' : x! — x + a. La correspondance entre les transformations des deux groupes n’est pas biuniforme ; à une transformation de G correspondent une infinité de transformations de g de la forme

Abd NT SR IO

m et m' etant deux entiers.