LES FONCTIONS ULTRAKLEINÉENNES ET LES FONCTIONS KLEINÉENNES

1. Nous nous proposons d'appliquer les résultats de la première - Partie à la définition des fonctions kleinéennes. ,

Une fonction kleinéenne est une fonction analytique f(z) qui se répète par les substitutions d’un groupe discontinu homographique

… di + b;

(g') DE. (= 2), 112 = ÿ (2).

Une substitution permutable avec toutes les substitutions du groupe az +b cs +d transformation identique possède cette propriété.

On ne peut donc définir directement une fonction kleinéenne quelconque au moyen de l'équation fonctionnelle étudiée dans la première Partie. Pour que cela fût possible, il faudrait, en effet, qu’il existât une infinité de transformations permutables avec toutes les substitutions du groupe kleinéen (g’) relatif à cette fonction. Or ceci ne peut avoir lieu que si (g”) n’admet que deux substitutions fondamentales et si en outre ces deux substitutions sont permutables entre elles, c’est-

continu 3! — est permutable avec toutes celles de (g’); seule la

à-dire, ont les mêmes points doubles. Les. fonctions fuchsiennes et kleinéennes satisfaisant à ces conditions ont été étudiées par M. Fubini (Annali di Matematica, 1908). Elles se ramènent aux fonctions elliptiques par un changement de variables rationnel-logarithmique. On pourrait aussi, en utilisant les résultats obtenus par M. Fubini, sur certaines fonctions hyperfuchsiennes de deux variables, définir des fonctions fuchsiennes plus générales que les précédentes, mais encore particulières. Nous ne nous arrêterons pas à ces cas particuliers et nous chercherons à définir les fonctions kleinéennes les plus générales.

I. — Recherche d’une équation fonctionnelle permettant de définir des fonctions kleinéennes.

2. Recherche de g. — Prenons pour g un groupe simplement transitif à trois paramètres, l’équation fonctionnelle f(g) = G(/f) définit des fonctions f(x,, x,, x,) de trois variables, se répétant par des substitutions du groupe g', permutables avec toutes les transformations de g. Considérons les valeurs de f(x,, x,, x,) le long d’une courbe l définie paramétriquement par les formules

AU), Ta—=p{u),, z3—=Vv(u)

et soit F[A(&), (&), (u)] = f(u). |

Nous savons a priori que f(x,, &,, x,) se répète par des substitutions de g”, nous connaîtrons le groupe de f(u) si g' laisse la courbe T invariante, et /(u) sera une fonction kleinéenne de w si g’ se réduit au + b cu +d'

Les courbes L' transformées de T par les transformations de g sont invariantes par g'; comme g’estsimplement transitif deux cas peuvent

sur [au groupe u' —

se présenter :

1° Les courbes [” coïncident avec l'; dans ce cas, toutes les transformations de g admettent comme points doubles tous les points de F, puisque seule la transformation identique est permutable avec les au + b \ cu + d La courbe la plus simple qui puisse jouer le rôle de FT est une

transformations w' —

droite : désignons ii,

sk of of

AE Ë se + M1 da: cn € srl on du op

De RNA Pr, Ô 0 0)

X,f= nr ae +h SE,

les transformations de g. La surface Ô qui a pour équation

re Ër d— ês N2 ês — 9 Ës "3 Es

est invariante par les transformations de g; la courbe l'sera sur cette surface à. Comme nous aurons à faire l’étude du groupe g sur à, il faut prendre g de façon que à soit le plus simple possible, par exemple, soit un plan. Mais si l’on cherche les groupes continus de transformations homographiques possédant les propriétés que nous venons d’énoncer et pour lesquels à est un plan, on trouve qu’il n’en existe pas; nous ne reproduisons pas ici le calcul sans grand intérêt qui conduit à ce résultat. Abandonnons donc la condition que à est un plan; parmi les groupes qui vérifient les conditions restantes, nous citerons le groupe

MT TER, Hdecto

a xs + bd CE ie Re Bou) Le — ° CZ; +d CXs + d

ne) RC RE à Me Rd di

La droite &, — x, —#, joue le rôle de l'et à se compose des trois plans passant par l'et par les axes des coordonnées. 2° Les courbes [‘ engendrent une surface. Tel est le cas du groupe

1 ati + ba NC Ed CT Hd Lca;+ b Pa ax + b TT 'cæ;+d

En écrivant ces transformations en coordonnées homogènes, il est

facile de voir qu’elles forment un groupe

a Xi + bas,

= CXi + dx,