UIT(PI=TIU (PI
Cette dernière équation est valable quelle que soit la transformation infiniment petite £ considérée et quelque soit le point M de D. ILen résulte que U est permutable avec loules les transformations infiniment petites de G.
Je dis, d'autre part, que la transformation Ü appartient au groupe G.
Ainsi que nous l'avons vu, en suivant le prolongement analytique de f-! le long de € on définit des transformations de G qui à un point de D, font correspondre un point de D,. Soit T, une de ces transformations, désignons par £, la transformation correspondante de £:.
On ala relation
J'(um)= TS (m)}.
Soient # un point de d, 4, la transformation de g définie au moyen de C comme nous venons de le dire, telle que
lim = m.
Par hypothèse les transformations de g dépendent birationñellement des paramètres, il n'existe donc qu’une transformation de g qui à un point donné fasse correspondre un autre point donné, 4, se réduit : donc à la transformation identique et
J'(m)=Tilf(m)].
Il en résulte que U = T, appartient à G.
RécrRoque. — St en définissant de proche en proche les transformations de G, le long d’une courbe C issue d’un point M,, on obtient une transformation TV, distinguée dans le groupe G et telle que M, —TM,, le contour c de l’espace E' homologue de
M,CM, est ferme.
Soient en effet »m,cm, le contour homologue de M, CM et 8 la transformation de g homologue de T,; on a my —0m,, par un raisonnement analogue à celui du théorème précédent, on établit que 0 est une transformation distinguée de g'; en vertu des hypothèses, elle se réduit à la transformation identique et m,—m,, © est donc fermé.
CorocLame — La condition nécessaire et suflisante pour que les 0 P q y soient des fonctions uniformes des x est que G ne conlienne pas de transformation distinguée.
45. Étude du prolongement analytique de f ‘ dans un domaine de connexion quelconque :
Taéorèue. — Lorsque le point M décrit un contour fermé. F, les x subissent une substitution permutable avec toutes les trans for-malions de g.
Il suffit, pour démontrer ce théorème, de reprendre le début de la démonstration du paragraphe 42 :
Soient M, un point de F, D, un domaine entourant M,, désignons symboliquement par f-'"(M) le système de fonctions x d’un point de D,, par f'(M) le prolongement analytique de f-' PIE - décrit le contour T. Soit
He DO
f-(TM)= ef (M), J'CTM) = cf (M).
On en déduit, comme au paragraphe 19,
On a cette fois
A UN UN n se C:"0. F. D:
Cette fois U ne fait pas partie de g ; on peut bien définir par prolongement analytique le long de T une transformation T, telle
que, pour un point particulier M de D,, on ait. ; M=T,M.
mais T, ne se réduit pas à la transformation identique et à partir de ce moment, l’ancien raisonnement ne s'applique plus.
Soit 2° le groupe réciproque de g, c’est-à-dire le groupe formé de toutes les transformations permutables avec celles de g ; la transformation U fait partie de g’. L'ensemble de toutes les transformations U forme un sous-groupe (2’) de 2’ qui SD end une infinité discontinue de transformations.
A tout contour fermé tracé sur At correspond une substitution
de (3°).
Taéorème. — Deux contours fermés TV et |" pouvant se réduire
l’un à l’auire par une déformation continue sans rencontrer de point singulier de G correspondent à la même transformation
de (8°).
Soient S une surface limitée par l'et [” ne contenant aucune singularité de G, C un arc de courbe joignant un point M de F et un point M del”; l’aire A deS intérieure au contour MT MCM'T'M' CM
ne contient pas de point singulier de G, x est donc une fonction
uniforme de y dans cette aire et ne subit pas de substitution lorsque y décrit un contour fermé intérieur à À pouvant se réduire à un point ; prenons comme contour la frontière de À, on a en désignant par et t' les substitutions de (2) qui correspondent respectivement à let à l”:
É A E donc TE C: Q:F. D.
Considérons un système de substitutions fondamentales de, (2) ; une substitution de (2’) est le produit d’un certain nombre de substitutions fondamentales ; les substitutions fondamentales sont de deux sortes.
Les unes correspondent sur 3t/ à des cycles; elles sont analogues aux périodes cycliques des intégrales abéliennes.
Les autres correspondent à des contours de M pouvant se réduire à un point, mais en rencontrant des points singuliers de G ; elles sont analogues aux périodes polaires. ;
En raison de ces analogies, nous appelerons les premières substitutions cycliques et les secondes substitutions polaires.
j IV. — Étude des transformations de G.
AA. Prolongement analytique d’une transformation de G. — Étant donné un arc de courbe MCM' on peut définir » transformations
Fi, TT, :., T,' infiniment: petites, respectivement ‘en 7) points MMM... M de-cel, arc, etutellesique M1" Me M'=T, M, ; leur produit T =T, T,, ..…., T, est une transformation
finie de G et M’ — TM. Les coordonnées des points P’ — TP sont des fonctions des coordonnées de P holomorphes lorsque P reste dans un petit domaine D entourant M.
Nous allons étudier le prolongement analytique de cette transformation P'= TP lorsque P se déplace d’une façon quelconque sur %’. Il peut arriver que l’une des transformations intermédiaires T, cesse d’être définie pour certaines positions de P sans que pour cela T cesse de l’être.
Les transformations T admettent sur AL’ ainsi que nous le verrons des singularités algébriques et essentielles ; dans certains cas, elles admettent des coupures essentielles.
Taiorème. — Sorent TV un contour fermé tracé sur m', M, un point de TV, T une transformation de G définie au moyen d'un chemin
-M,CM, «M, = TM, (fig. 1). Supposons que M décrivant le contour
Fig. r. ; L
M,TM, le point M'—TM soit constamment défini et décrive un ST : ë
chemin M,['M, non fermé. La transformation TM n'est pas
uniforme à l’intérieur de V. Je dis qu'il existe une transformation
distinguée de G qui au point M, fait correspondre le point M’.
Deux cas sont à distinguer :
1° l' peut être réduit à un point sans rencontrer de point singulier de G. Désignons par des petites lettres les éléments de l’espace E
ee
homologues des éléments précédents de >%K’. A F correspond un contour fermé m,ym, (Jig. 2), comme la transformation { est birationnelle par conséquent uniforme, m, et m, coïncident lorsque
M décrit le chemin M,CM,C'M\, m décrit un contour fermé, d’après
le théorème du paragraphe 15, il existe une transformation distinguée
T, de G telle queM =T,M,.
2° Lorsque M décrit F le point m subit une substitution r de (£g)
et décrit un chemin »,ymn, (fig. 3); m,y'm; est le chemin transformé
