Partie; g' ne contient pas de transformation distinguée et dépend

LES è b birationnellement des paramètres — Supposons, par exemple,

que les y; f;(x,, æ,, æ,) soient des fonctions uniformes, le groupe (2') de ces fonctions est un sous-groupe de 2’. Si y, est holomorphe sur une région de à, la valeur f,(wz3, z, 1) prise par y, sur une génératrice (IL), est une fonction kleinéenne de z sur cette généas +b cz + d

Pour cette raison, nous dirons que les y; sont des fonctions ulirakleinéennes des trois variables +,, æ,, æ,.

ratrice, le groupe ( g’) se réduit à 3’ —

A. Recherche du domaine fondamental de (g'). — Nous appellerons ainsi un domaine P de l’espace E’(x',2°, æ,, æ,, æ,, æ,) tel que tout point de @ soit transformé d’un point de P par une substitution et une seule de ( 2’). En d’autres termes, dans P les fonctions y,, y., Ya» Ya prennent une fois et une seule des valeurs quelconques c,, €, C3» ©, vérifiant la relation F(c,, c,, c,, c,) — o(sauf peut-être certaines valeurs exceptionnelles). On obtient ce domaine de la façon suivante :

Imaginons que dans la multiplicité 30’ on ait tracé des coupures à 5 dimensions rendant cette multiplicité simplement connexe; et telles qu’un contour fermé quelconque tracé sur HV ne traversant aucune des coupures ne puisse se réduire à un point sans rencontrer de point singulier de G. Désignons par 9 la multiplicité ainsi découpée, Faisons décrire au point M(y,, ÿ4; ss Yes Var Var Var Va h la multiplicité 5; le point » correspondant décrit un domaine P qui est un domaine fondamental de (g’), caril y a correspondance biunivoque entre P et ne.

Si l’on décrit sur iv’ un contour fermé traversant une des coupures, le point = correspondant décrit un contour non fermé et subit une substitution de (g’). Employons la terminologie de M. Giraud ("). Le domaine P est limité par des faces à 5 dimensions, ilades «arêtes» à 4, 3, 2, 1 dimensions et des sommets. Aux deux bords d’une coupure de M correspondent deux faces opposées de P.

(:) Lecons sur les fonctions automorphes (Gauthier-Villars).

5. Le domaine P comprend-t-il des points de 3? — Si l’on considère un groupe de transformations birationnelles tel que g, il existe toujours une multiplicité singulière que le groupe laisse invariante; elle s'obtient, comme nous l’avons vu, en annulant le déterminant des coefficients des transformations infinitésimales. Il n’en est plus de même pour les groupes continus tels que G engendrés par des trans- | formations infinitésimales à coefficients rationnels sur une multiplicité algébrique. Soient

RO of of of

Unes nur 0m dy TAN Sn U) ) o) o)

Vf= nn JE ct No22 a + nn SE + nu DE

RM TA Of Of of.

af = a on + N39 dy: me Hope GU

Supposons qu'en un point de M, D ne soit pas nul, et que les ; |

équations de G soient holomorphes. Une multiplicité invariante est définie dans le voisinage de M par

Mis Mao M3 À

A in en Mal 0:

Mais il se peut que tout point de 3 vérifiant l'équation À, — o vérifie

. OF 4 La : ; :

aussi me — 0. D'une façon plus générale, soit A; le déterminant

obtenu en supprimant la colonne de rang t dans la matrice des n,4 il se () : ; ue peut que ee o soit une conséquence de A; = o quel que soit :; dans

ce cas, s’1l existe une multiplicité invariante, elle coïncide la multiplicité singulière S définie par les équations F F0, ob Os dy;

En un point de À; — o on peut exprimer les coordonnées de 9 au moyen de trois paramètres #,, #,, #,; exprimons les transformations Ÿ,f au moyen de #,, #,, o, et formons le déterminant correspondant A. Bien que sur S on ait A;=o(i=1, 2, 3, 4,) il se peut

que À ne soit pas nul. Il peut done arriver qu'aucune multiplicité

tracée sur M, même se réduisant à un point, ne soit invariante par G. Il faut donc considérer deux cas suivant qu’il y a ou non sur 3 une multiplicité invariante.

6. Cas où ul n'y a sur M aucun élément invariant pour G. — Considérons un domaine D, de 3 et suivons le prolongement analytyqueydes fonctions x @.;., de y ,5 V3, Vie: Ya en dehors de D,. Comme nous l’avons fait au Chapitre précédent, transformons D, par une transformation infiniment petite T, de G, puis le domaine ainsi obtenu par T, et ainsi de suite; je dis que si 9 ne contient aucun élément invariant, on finit par recouvrir ainsi JC tout entier au bout d’un nombre fini p d'opérations en choisissant convenablement les transformations. D TER AT :

Si cela n'était pas, il y aurait au moins un boat M, qui, après la n'%* opération, ne serait pas dans le domaine transformé de D,, et cela quel que soit n; les points M, auraient au moins un point limite M qui ne serait le transformé d'aucun point de D, par une transformation finie de G ; mais le lieu des points M possédant cette propiété est manifestement invariant par G, ce qui contredit l'hypothèse.

Considérons le domaine d, de l’espace x,, &,, æ, correspondant à D, et les transformations £,, &,, ..,t, correspondant à T,, T,, ...,T,;

. si l’on applique à d, successivement les transformations 4,, £,,..., 4,,

on obtient un domaine qui ne contient aucun point de à ni à son intérieur ni sur sa frontière et qui contient le domaine fondamental P de (g'). |

Dans ce cas, P ne contient aucun point de à; réciproquement, ilest facile de voir que si le domaine fermé P ne contient aucun point de Ô aucune multiplicité de 3% n’est invariante par G. Tous les points de à sont alors des points singuliers essentiels des fonctions y.