III. — Étude des fonctions ultrakleinéennes sur

7. Hypothèses supplémentaires. — Nous ferons désormais les hypothèses supplémentaires suivantes :

4o HENRI MINEUR.

1° Il y a une multiplicité à deux dimensions À invariante pour G.

2° Sur A les déterminants d'ordre 2 issus de la matrice 1,4 Sont nuls.

3° En un point y?, y:, y, y, de À où par exemple D n'est pas nul, le développement du déterminant suivant les puissances de y, —y;,

— Y}, Y3 — Y} commence par des termes du second degré non nuls.

Le groupe G étant défini par trois transformations infinitésimales, la vérification de ces hypothèses n’exige que des calculs rationnels.

Il résulte de là que sur A les transformations infinitésimales- Y, f, Y,f, Y,f sont liées par deux relations linéaires à coefficients variables. Sur À les trajectoires Q, d’un sous-groupe quelconque de G à.un paramètre ne dépendent donc pas du sous-groupe considéré ; ces courbes Q, forment une famille à un paramètre et chacune d'elles est invariante pour (x. Soit G’ le groupe des transformations permutables avec toutes celles de G; comme conséquence de ces hypothèses, A est invariant pour (Gr.

En certains points singuliers de À, les hypothèses précédentes Le vérifiées à condition de faire auparavant sur les g un changement de variables algébrique. Il existe, ainsi que nous le verrons sur des exemples, une autre multiplicité A, invariante par G sur laquelle les hypothèses précédentes ne sont pas vérifiées.

S1 les hypothèses (1), (2) et (3) sont vérifiées, les fonctions y sont holomorphes sur une certaine région de à. Pour démontrer cette proposition, nous montrerons que les x sont des fonctions! algébroïdes sur À tout entier. Auparavant, nous étudierons £ et G respectivement sur o et A.

8. Etude de g sur à. tu Le groupe g est isomorphe au groupe homographique à une variable. Les sous-groupes g, de g à un paramètre sont donc formés des transformations de g telles que les trans-

az + b formations z' — ne qui correspondent aux mêmes valeurs de a, b,

c, dont deux te doubles donnés « et B, ces dernières transformations sont de la forme

nn.

Les équations d’un sous-groupe à un paramètre de £ sont donc 8 £

, (æ—0B)x;— aB(1 —06)r, MNT Ar ab Dr (1— 0), + (a0 — Bjzr, has ap7 , …(&æ—B0)xz;— aB(1— 0) ‘ DR TER PRET Eee

où « et B sont des valeurs fixes arbitraires et où 0 désigne le paramètre. Désignons par { la transformation précédemment écrite, la transformation {”", où » est un entier positif ou négatif correspond à la valeur 0” du paramètre.

Considérons un point quelconque m(x,, x,, æ,) de l’espace E, la trajectoire du sous-groupe 2, issue de ce point s'obtient en considérant x’, æ,, æ, comme les coordonnées d’un point courant et 0 comme un paramètre; c'est une droite dans l’espace à trois dimensions x, LH De

Dans l’espace imaginaire à six dimensions E(4°, 2°, x!,, 2°, x, &!) cette trajectoire est une multiplicité à deux dimensions dont les coordonnées s’expriment rationnellement au moyen de 0’ et 0” si l’on pose 0 — 0" +197.

Appliquons au point "la transformation {” de vers l'infini, nous obtenons le point limite

g, et faisons tendre »

/ [ D ee OS Xp = (L)

Li — AL)

si[0|>71,etle point

juste

si|0|<Cr. Le point (L) dépend de m(x,, æ,, æ,), mais quel que soit "”, 11 se trouve sur la génératrice P% x, —$, x, — 8x, du svys- MINEUR. | | 6

tème a de à: CES se trouve sur la génératrice Paie A, Ti = AL) du même système.

Les trajectoires de g, sont donc les droites qui rencontrent POEtRe elles formentune congruence linéaire qui a pour directrices deux génératrices du système (IT). Les formules précédentes définissent une transformation qui au point 2 fait correspondre le point (L); on peut convenir d'appeler une telle transformation transformation infinie deg;illui correspondra dans G des transformations infinies.

Dans ce qui précède, nous avons supposé à et distincts; considérons maintenant un sous-groupe g, pour lequel les deux génératrices doubles sont confondues ; les points limites d’un tel sous-groupe sont sur la génératrice double, et les trajectoires sont des droites tangentes à Ô en un point de cette génératrice. |

Un sous-groupe à deux paramètres g, de z s'obtient en donnant dans les équations de g, une valeur conne: à « et des valeurs arbitraires à 6. Les trajectoires de £, sont les plans qui passent par P; ils sont donc tangents à à. Soit À un point de la génératrice P?,, toute droite issue de À peut être considérée comme une trajectoire d’un sous-groupe à un paramètre de g,.

Désignons par.

Se OR Or CASE of do ta

: Ô Ô X = ae, 3E Nues (æi — ae) + La du

trois transformations infinitésimales de g ; on a Ô (Li — Lst3);

on vérifie facilement que si x, — x, æ, — 0, les mineurs du second ordre de sont nuls. L'étude de 2’ est analogue à celle de g'; il suffit dans le raisonnement d’échanger les deux systèmes de génératrices

de Ô. à

9. Étude de G sur A. — Nous désignerons par z le groupe que l'on obtient lorsque dans les équations de g on suppose le point m(x,,

œ ta )rSût 0: lepoint #2, "0, est également sur d; nous pouvons supposer par exemple que dans g on remplace x, par on obtient

alors les équations de g exprimées au moyen des Les LS Da Nous désignerons de même par G ce que devient G lorsqu'on se borne à la considération des points de A; nous supposerons G écrit au moyen de y, et de y...

Sur à les mineurs du second Set issus du déterminant ||6;,|| sont

nuls; on a donc, ainsi que nous l’avons déjà dit, des identités de la forme

XP = ques MIX, Xaf = pad 22) Xi f.

De même, en vertu des hypothèses du paragraphe 7, fs a) Vif 2 Vif = dia Ya) Vif.

Les groupes get G sont-ils semblables? En d’autres termes existe-t-il

des transformations f de d en À telles que G = / g f—? D'après Lie

(Théorie des transformations-gruppen, Chap. XIX), une telle ‘transformation f doit vérifier les relations

Di (Zi Ba) = URI O2 Vas Do( Ti, Lo) = d(yi, Ya)-

Il semble que f soit entièrement définie; nous allons montrer qu'il n’en est rien et que les deux relations précédentes se réduisent à une seule.

Considérons la transformation infinitésimale

XF =AX if +pXif +vX3f

de g; écrivons que X f admet le point x°,x!, de à comme point double. En vertu des relations entre les X, nous obtenons la condition |

A ppi(ri Te) + VPa( Th Li) 0.

L’ensemble des transformations X f vérifiant la condition précédente 0 x“ k constitue un sous-groupe de g à deux paramètres; en vertu des rela-

tions de structure

(Xi, X2) = X4, (Xi, X3) = 2X3, (X>, X:3) = Xy, \

un sous-groupe à deux paramètres est défini par une équation linéaire en À, u., y de la forme |

À+u0 +v@—=o, où Ô est une constante arbitraire. Il en résulte que Oo (Ts, T2) Di (Zi, Lo}

Dans le raisonnement précédent, seule la structure de g est intervenue, on a donc de la même façon d,(y,, Y2)— (y: 2). Les

PE La) = Ya Yi, Ya)

: On peutinterpréter géométriquement cette relation. Ainsi que nous le verrons par la suite, le groupe G' laisse invariantes une infinité de courbes Q,; dépendant d’un paramètre; ces courbes Q, sont les trajectoires d’un sous-groupe quelconque de G&’. Soit {’ une transformation de £’, g, un sous-groupe de g à deux paramètres, l'identité

L2 === LL ti

montre que si un point #» de à est un point double de £, il en est de même de tous les points de la génératrice P’ du système IT passant par »m: Un raisonnement analogue montre que si un point M de A est point double d’un sous-groupe G., il en est de même de tous les points de la courbe Q, issue de M. Le lieu des points doubles d’un sousgroupe G, a pour équation d,(y,, y.) = const., les courbes Q, sont donc algébriques. Si dans la similitude établie entre 2 et G, g, et G, se correspondent, les courbes P’ et Q,, lieux des points doubles respectifs de g, et G,, se correspondent également. La relation ®, = Ÿ,, établit donc la correspondance entre les génératrices du système II de à et les courbes Q,; on voit que cette correspondance est algébrique. RER

-Soit 9, un sous-groupe à un paramètre de g défini par la transfor-

mation infinitésimale :