NP NN NEA X UT

u } g, admet comme lieu de points doubles deux génératrices du système IT qui sont définies par

| IL x, — br Ve= Ab,

À+uxz;+væx?—o, c’est-à-dire PRE + Q | [us HE th

Le sous-groupe (x, correspondant admet aussi deux courbes Q, comme lieu de points doubles; en effet, G, est défini par

YÉ=NY f + pos +VYsf, et l’équation qui détermine les points doubles LÀ Hp Æ vs = 0

se décompose en deux en vertu de d, = {” :

| Un eh

: Qw Vi < ve À 1 ) *T ESS 0

Qù he ne a

Q,, correspond à la génératrice Il’ de à et Q,, à I”.

A0. Recherche des racines de l'équation en S relative à une transformation infinitésimale de g. — Considérons une transformation infinitésimale de g

épi ee ne ne

—=(Àx;+ur+vaz;x) ie — V(Li— 33)

Je A res

Soit M (X,, æ,, æ,) un point double de X f, m, vérifie les conditions (ES

A+pxi+ vx —o,

0 0 0 S Li Lol 3 AO

46 k HENRI MINEUR.

Faisons une translation des axes de façon à amener l’origine en m4 La ax + x, LAS +, Fr NE AE FPS

et bornons-nous dans le calcul de X f aux termes du premier ordre par

rapport aux æ'

f ; : 9 Xf= (RH VAS )r — at (ph vet)vé ce à pe

Hi —væ! +yxix, +vxîæ, | df

. à Ô a | G+ovepas DE

Nous appellerons équation en S relative à Xf et au point M, l'équation en S relative aux trois formes linéaires en x, x, æ, qui constituent l’ensemble des termes de plus bas degré des coefficients

JS As OP de 0x. 0x, 0x,

dans X f. Ces racines sont | Sp LR QU LUE SA NE Où VS

x est une fonction de À, u, v; remplacons x, par sa valeur, nous obtenons s — e Vu? — 4 XÂvyavece? = 1, la présence du signe = n’a rien qui doive nous,étonner, un sous-groupe g, admet en eflet deux génératrices de points doubles, on ne peut donc caractériser entièrement une génératrice IT par un sous-groupe de g à un paramètre qui la laisse: invariante. |

Étant donnés À, , v ete ou, ce qui revient au même, g, et la génératrice double qu’on étudie, s,, s,, s, sont déterminés. Les racines de l'équation en S pour un sous-groupe g, sont les mêmes en tous les points d’une même génératrice double.

Ceci est évident a priori. En effet, soient », et m° deux points de la génératrice Il! par exemple et T' une transformation de g’ telle que m, = T' m,, l’identité g, = T' g, T=' montre qu’en m, et en m, les racines de l'équation en S relative à g, sont les mêmes, puisque ces racines restent invariantes si l’on fait un changement de variables.

Cherchons les racines de l'équation en $S relative à m, et à XF;

l'équation de à est ; g,— 2x, —ax,—x,x, —0.

X/f a donc pour expression, en se limitant aux termes du premier

degré, A

ee d A

Les racines de l’équation en S correspondante sont donc s, et s..

A1. Étude des racines de l'équation en S relative à une transformation de G.— Nous allons démontrer que les racines de l’équation en S relative à un sous-groupe G, sont égales à celles de l’équation s en relatives au sous-groupe correspondant ÿ, en un point de la génératrice double correspondante.

D’après ce que nous avons démontré au paragraphe 9 les groupes g

et G sont semblables et les transformations f qui vérifient l’équation