LS UE
dépendent d’une fonction arbitraire. Comme les racines de l'équation en S relative à une transformation infinitésimale ne changent pas si
l’on effectue un changement de variables, les racines relatives à Xfet à Y f sont les mêmes en deux points homologues. Les racinesS, et SI
relatives à vf sont donc S, =5s,—5, S, —5,—0.
: Il est manifeste que deux racines de l’équation en S relative à Y f sont égales à celles de Y f; nous allons montrer que la troisième racine S, est égale à s,, c’est-à-dire à s.
Soit O un point de A, dans le voisinage de O faisons un changement de variables tel que, si l’on désigne par v,, »,, v, les paramètres qui servent à définir un point de a, le point O ait pour coordonnées ?, — ?, = ©, — 0, A ait pour équation #, — o et les courbes Q, P, = 0,9, = const, Désignons par Z, f, Z, f, Z,.f trois transformations infinitésimales de G telles que Z, f et Z, f admettent O comme point double; Z, et Z, forment donc un groupe à deux paramètres et d’après Lie (t. IE, Chap. [) on peut choisir Z,, Z,, Z, de telle sorte que
(Zr2) = 0, (Zi, Z3)— 22; 0, (Ze, Z3) — Z3= 0.
Développons les coefficients des Z suivant les puissances de #,, 6,,0,;
en‘vertu des hypothèses faites sur G, ces développement ont la forme
LT (CA Le gabarit NE ë À Ve dis :
AS Per (Bipih Papa Pos H Bari te.) Ô d + (0 + bp, + bio + b:v, +.) +R But.) Se ; ’ of LS = yo + 191 + V2 Va + Va Vs + V0! en À ; + Pa( Co + C1 01 + Ca Vo + Cs03 +.) pn(G+ Ge Dr 2 3
Substituons aux variables e les variables v définies par
Mi +hV+ KE, Po == Po Bb:
Pie V3.
À a encore pour équation #, — o et les courbes Q, ?, = 0, #, = const. Exprimons les Y f au moyen des variables + ; les nouveaux coefficients « et 5 sont
L3—= 3 + has + KA, pi — B3 + hb; + kB.
Le déterminant a, B, — D, A, n’est pas nul, car le développement de A suivant les puissances des ? est
A = y(a0B5— bo AS) ri.
et si a; B, — b, À, était nul, À commencerait par des termes du troisième ordre au moins, ce qui est contraire à l'hypothèse. On peut
donc choisir À et # de façon que à, = 0, 8, — 0. En d’autres termes, on peut supposer les variables v choisies de telle sorte que «, et B, soient nuls, ce que nous ferons par la suite.
; Considérons une transformation Z f = 12, f + uZ, f admettant O
Al
comme point double, les racines de l'équation en S relative à cette
transformation sont Sa LBi: LÉO Sy u Bo:
Substituons les expressions précédemment écrites de Z,, Z:, Z,
dans l'identité (Z,, 2,)—72,=oet TOTALE tous les termes de Jess inférieur ë à 2, il vient
ATOS &(Bi—1)—=0, oBs — bas = 0,
A,b,— Bsa, — ay = 0, A0!
. Annulons de même le terme constant de (Z,, Z,) — Z,, d’où | 1 + B,) 0:
Y, ne peut être nul, sans quoi le point O serait point double de toutes les transformations de ( et les mineurs du premier ordre de A s’y annuleraient, ce qui est contraire à l’hypothèse (1); donc B, = — x, ceci montre que s, — -— u.. Cette racine s, ne dépend pas de (x, nous retrouvons ainsi un résultat déjà établi. Si l’on tient compte de B, — — 1 les premières relations trouvées donnent
Ra == Un = A PO et &o(i + B5) NON dB: = 0.
Mais a, ne peut être nul, sans quoi la transformation Z, f serait du second ordre et puisque 2, est du premier ordre, À commencerait par des termes du troisième ordre, ce qui est contraire à l'hypothèse.
On a donc B, — — 1, c’est-à-dire s, —s, et 6, — o, en définitive Z, et Z, sont de la forme
Lil (E..%) TOUR CAT Cire ) dés.
of SO es Sie Life (— 1 + DONNE LA UC Ut a En
les termes non écrits étant du second ordre.
12. Étude des trajectoires d'un sous-groupe de G dans le voisinage de O. — Les trajectoires d’un sous-groupe G défini par Z,, Z, admettent O comme point double et sont définies par le système
dv, dv; dv, (2) NC RE
N MINEUR. à 7
où l'on pose Zf—)2, PEL f=ts +n sue are le
voisinage de O, £, n, € ont des développements de la un
ESP EE NS n—= (Aa; + Bbo)93+ ® — SiPs rene
Faisons sur les e la transformation
WE Vis
U3= 502 —(À@o + mb) P3
7 ! Uz3—= V3:
6, n, (€ deviennent ES Ur D SH Froues == SON
les termes non écrits étant de degré au moins égal à 2.
D'après un théorème classique sur les équations différentielles, le système (2) admet des intégrales dépendant de deux constantes C, et C, et représentées par les équations
vi pi(Cs Ces ro CAE P— po( Cest, Gest), Ps ps (Cet, Co ef).
Les fonctions 2,(x, B) sont holomorphes et se réduisent à zéro pour D(o:, se D (a, «= 6 = o. Il y a donc une infinité simple de ie de Z f dépendant d’un paramètre et passant par O; elles sont situées sur la sur-
face S, d'équations
d — B= = 0 ne le déterminant fonctionnel n’est pas nul pour
v;—=9;(a, B) (DR NN
D Co: gs) D(x, 6) lons-le, a pour équation v, — 0, S, contient la droite 6, =, — o qui est une trajectoire de Z f.
Cherchons l'équation du plan tangent en O à la surface S,, soit
Comme n’est pas nul, S, n’est pas tangente à À qui, rappe-
An +Be+Cv+:..—o;
THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. x
l'équation de S,, comme le plan tangent en O, contient la droite Pa = P3 = 0, À — 0; de plus, S, étant invariante par Z f,
Z(Br,+ Cv; +...) —o
ou [B(a+ub,)—umOlr;+...—=0; on a donc CO Aa +pb, A MRTEER et l’équation du plan tangent à est
ph + (a +phi)rs— 0.
a; ne peut être nul; nous avons démontré en effet que &«, —0;sia, était nul, Z, j serait du second ordre en O, ce qui est contraire aux hypothèses. On peut donc choisir À et u, c’est-à-dire la transformaüon 2 f, laissant O invariant de façon que le plan tangent à $, soit un plan arbitrairement donné passant par la droite #, = », —oet distinct du plan ?, — 0.
Soit I(o, V, o) un point double de G, voisin de O; on peut raisonner sur Î comme on a raisonné sur O; il existe une infinité simple de trajectoires de Z f passant par 1; elles sont situées sur une surface S, non tangente à À et coupant A suivant la droite 6, = V. Dans Je voisinage de 0 faisons un changement de coordonnées (P,, 0, P,; ®,, 2, W,) tel que les nouvelles coordonnées æ de O soient (0, 0, 0), celles de [ (0, V, o) et que les équations de A et S; soient respectivement w,—=0,w,=— V, G laisse invariante la famille de plans w,— const.
BOL Z En, ie + = a les équations des transformations de G,,
exprimées au moyen du ne canonique, s’obtiennent en intégrant le système
dw, dws dws
dû — 0 NS dd es
Ras =
à $ œ, — C, est une intégrale première de ce système qui se réduit donc à
dw ; DS = tt, C:, 43), d0
Le ESChr Go Wa):
Par un changement de variables, la forme canonique des termes du premier Idegré de £, n, € n’a pas changé ; le système précédent admet donc, d’après la théorie classique, deux intégrales de la forme
O:(#:, GC, m3) = CG 20 OP Gr) Ce
O,, @, s'annulent pour w, =, = o quel que soit w, et le détermi- D(6,,0,) ;, FAN nant np, ) D 6St PAS nul pour Man Il en résulte que les
équations de G, sont de la forme
We == WW; O, (ww, w!,, m1) = e 0, (w,, 0, 3), O, (1, 1, 1) = e0, (w,, ,, w3).
Sous cette forme, la répartition des trajectoires de G dans le voisinage de O apparait nettement. Étant donnée une direction quelconque issue de O et située dans le plan w, = o, il existe une trajectoire de G, et une seule tangente en O à cette dechon.
13. Étude de f-' dans le voisinage d'un point de A. — Tout d’abord, introduisons la convention de langage suivante : Soit f(x,, Z,, &,) une fonction analytique d’un point m(x,, x,, x,) de l’espace à trois dimensions et soit y une courbe ue de cet espace définie par les formules paramétriques
) ; Li vi (2), La Po(3(, T3 D3(3).
Nous appellerons fonction f sur la courbe + la fonction de z J(s)= flots) pa(s), p:(2)],
: Nous dirons que f est une fonction holomorphe de x,, x,, æ, sur y
si f(z) est holomorphe.
Tuéorème. — Les x sont des fonctions homolorphes des y dans le voisinage de À sur les trajectoires des sous-groupes à un paramètre
de G pour lesquels u? — 4 \v n'est pas nul.
Conservons les notations du paragraphe précédent ; désignons par T
une transformation de G, pour laquelle |eŸ| 1, et par M, un point de coordonnées æ?, w?, w° voisin de‘O et non situé sur A. D’après la forme que prennent les équations de G, dans le voisinage de O le point T” M, tend vers le point M, (0,0, w°) pour n infini. Soient { la transtécmation de g, qui roue à T et #1, le point homologue de M, ; comme nous l'avons vu au paragraphe 8, le point 4” m, tend vers un point m, qui est point double de'z,. Pur un banbeient de variables les équations de g, peuvent dans le voisinage de 1, se mettre sous la forme NL NS, DCE AR NEO D EX NS KT) BOXE NN VRE BL EX Ne SN
de
On peut s’en assurer directement en examinant les équations écrites au paragraphe 8 ; la valeur de s est la même pour g, et G&, ainsi que que nous l’avons vu. Soient X°, X°, X° les coordonnées de m,. La trajectoire l de G, qui passe par M, a pour équations
O,[w;, am, 3] O,[w9, e æÿ] O,[ 1, 2, 3] 7 O,[w2, 0, w2]
= Gi (VE æ?), les æ désignant des coordonnées courantes; de même la trajectoire
de £ £, issue de mn, a pour équations
O IX: X, X3] CA px, X®, X2.] XX Xe XX, À]
