XX

Les points M, et m, se correspondent par la transformation /; il en est donc de même des points M — TM, et m = tm, ; soient w,, w,, w, les coordonnées de Met X,, X,, X, celles de m, comme T et z correspondent à la même valeur du paramètre canonique 0 on a la relation

O, (4, as a) O0, (w7, 2, wi)

à OS Hi ANA RS NN €

Cette équation, jointe aux équations de y, montre que X,, X,, X, sont des fonctions de w,,®,, w, DARATRREE sur [dans le voisinage

LP n’est pas. (nul nee ‘à P

du point double M} puisque le déterminant ?

en M}. Réciproquement les w sont des fonctions des X holomorphes sur y dans le voisinage de »;.

Tuéorème. — Les x sont des fonctions holomorphes des y dans le voisinage de O sur toute courbe passant par O non tangente à A.

Ainsi que nous l’avons vu, on peut toujours trouver un sousgroupe Z f admettant O comme point double et pour lequel la surface S, correspondante est tangente à un plan arbitraire contenant la droite », = ?, —oet distinct de , — 0; de plus, il existe une trajectoire de.Z f tangente à une direction arbitraire du plan tangent à S,. Étant donnée une direction arbitraire issue de O et non tangente à A, il existe donc une trajectoire d’un sous-groupe Z f tangente à cette direction. On peut donc faire un changement de variables, qui substitue aux w les coordonnées w,, u,, u, tel que À ait toujours pour équation Us = — o et que les trajectoires des sous-groupes issues de O aient pour équations

Di OU US CAL

Soient u, = uw + us (K —1,2,3); considérons dans l’espace à six dimensions #, u',u!,u,,u,,u un cône l'à 5 dimensions de sommet DU 0 dont. aucune Séne atuiee ne se trouve dans la multiplicité A'u,=u,=0; désignons par D le domaine délimité par ce cône qui ne contient pas A’. Posons

au domaine D correspond dans l’espace U', U', U, U',, U,, U: un domaine D’. D'après le théorème précédent, les x sont Fe fonctions holomorphes des y sur les trajectoires des sous-groupes de G; or ces trajectoires sont les courbes U, = C, U, — C”.

De plus, lorsque U, — C” les æ sont des fonctions holomorphes de U,, U, dans le domaine que l’on obtient en coupant D’ par la multiplicité U, — C”. En effet, si C’ n’est pas nul, la multiplicité U, =C” n’a aucun point commun avec À et si U, est nul, l'intersection du domaine Det de U, — o se réduit au point O et lorsque le point w,, u,,-u, tend'vers Ole pont %, z, x. corrrespondant tend vers un point déterminé de à.

Le]

Il résulte de là que les x sont des fonctions holomorphes de U,, U,, Ü: dans D';il suffit pour s’ en. asssurer de se rappeler le théorème suivant :

« Si une fonction de » variables f(x,, x,, ..., æ,) est une fonction holomorphe de x,,x,,...,x,, lorsqu'on donne à x, une valeur constante arbitraire et une fonction holomorphe de x, lorsqu'on donne à x,,x,,..,æ, , des valeurs quelconques, c’est une fonction holomorphe de x,,x%,,..., 2,.»

Le théorème énoncé découle immédiatement des résultats précédents, car, étant donnée une courbe y issue de O non tangente à À, on ) » 1 8 ) peut choisir le cône l de telle sorte que y soit dans le domaine D; sur la courbe y’ homologue de y dans l’espace U,, U,, U, les x sont des À 5 1 P nine fonctions holomorphes de U,, U,, U,; ils sont donc des fonctions

holomorphes des y sur de | DOS EE De Tuéorème. — Les x sont des fonctions holomorphes des y dans le voisinage de tout point de A. — Dans le voisinage d’un point O de A

: € A À ô faisons un changement de coordonnées. Soient z,, z,, z, les nouvelles coordonnées; on peut choisir ce nouveau système de telle sorte qu’aucuae des courbes coordonnées

onst., Z2>— COnSt., 33 Consl.,

= C 2 — CONS Z33— Cconst., 31 COns{:,

ne soit tangente à A dans le voisinage de O. D’après le théorème précédent, les x sont donc holomorphes sur ces courbes, en d’autres termes les x sont des fonctions de z,, z,, z, holomorphes par rapport à une de ces variables lorsqu'on suppose les deux autres constantes; en vertu d’un théorème déjà énoncé au cours de la démonstration précédente, les x sont des fonctions holomorphes de z,, 3,, z,.

14. Étude des fonctions f sur d. — Essayons d'appliquer aux fonctions f les raisonnements du paragraphe précédent. Soient »; un point de à, », un point non situé sur d et { une transformation de g telle que /*m, tende vers mn’ lorsque r augmente indéfiniment. Soit M, l’homologue de m, et T la transformation correspondante de G; nous

ne pouvons affirmer que T” M, tende vers un point limite lorsque » devient infini. 5 5 Or, le raisonnement du paragraphe précédent était basé sur ce fait que, quels que soient { et m,, lm, tend vers un point limite; nous l’avions déduit des équations finies de z exprimées au moyen des paramètres canoniques. On ne peut donc démontrer que les fonctions y des variables x sont holomorphes partout sur ô. = Par contre, soit O un point de À, nous avons montré qu’il existait un point M, etune transformation T de G tels que T’ M, tende vers O; si l’on désigne par m, le point homologue de M, et par / la transformation homologuedeT, {’m, tend versun pointlimite m; etenrépétant le raisonnement du paragraphe 13 sur les fonctions y, on démontre que celles-ci sont des fonctions holomorphes des x dans le voisinage

de m!. L'ensemble des points tels que "1! constitue un domaine @ de à à quatre dimensions, d’où le théorème : Les y sont des fonctions holomorphes des x sur une certaine région de à. Il est facile de trouver la forme de ce domaine & : Supposons que les y soient des fonctions algébroïdes des x, en un point m, de à; soient G, la génératrice du système I issue de m»,, M, le point de A homologue de m,, Q, la courbe homologue de G,. Nous avons montré au paragraphe 3 que la relation ©, — Ÿ, établissait une correspondance algébrique entre les génératrices du système IT de à et les courbes Q,, ou ce qui revient au même entre les points homologues des courbes G, et Q,. Les y considérées comme fonctions d’un point de G, sont algébriques, elles sont donc définies en tout point de G,. Le

domaine ( est donc engendré de la façon suivante : Soit © le domaine d'une génératrice II de à dans lequel les y sont définies. © est formé

des génératrices I issues de tous les points de @.

15. Cas où les transformations de G sont birationnelles. — Nous allons démontrer que si les transformations de G sont birationnelles, il en est de même des fonctions y :

Soient a (y, Y!, Y3, Y,) un point de A et (x, un sous-groupe de G à un paramètre admettant a comme point double, l’ensemble des trajectoires de G, passant par a forme, ainsi que nous l'avons vu,

THÉORIE ANALYTIQUE DES GROUPES CONTINUS FINIS. bn

une surface $, ; écrivons les équations de G, dans le voisinage de a Je fil Va Ja Yu el (1,2, 3,4);

Ô désignant le paramètre canonique de G,, la surface S, a pour équation | Ve = Ji (Vis Mes Vas Vas 0) (1, 2, 3, 4);

elle est donc algébrique. $S, est l’'homologue d’un plan tangent à la quadrique d; or toute droite de l’espace x,, æ,,&, peut être considérée comme l'intersection de deux plans tangents à à. Les courbes de la multiplicité 3% homologues-des droites de l’espace E(x,, %,, æ,), c’est-à-dire les trajectoires G d’un sous-groupe quelconque G, de G à un paramètre sont algébriques. Considérons une transformation rationnelle T et imposons-lui les conditions suivantes :

T transforme %t en elle-même, est birationnelle, conserve chaque courbe G et est permutable avec toute transformation de G,. Ces conditions sont algébriques et par conséquent l’ensemble des transformations T ainsi définies dépend algébriquement d’un certain nombre de paramètres; or, il est manifeste qu’une telle transformation T fait partie de G, puisque sur une courbe G, seule une transformation de G, est permutable avec toutes les autres transformations de ce sousgroupe. G, dépend doncalgébriquement de ses paramètresetcommeG, est un sous-groupe quelconque, il en est de même de G.

Il résulte de là que les transformations de G qui, à un point donné de 3% font correspondre un autre point donné de cette multiplicité sont en nombre fini N. En reprenant le raisonnement fait au paragraphe 13 du Chapitre I, on en déduit que (g’) ne comprend qu’un nombre fini N de transformations.

Les transformations de (x étant birationnelles, on démontre sans difficultés que la fonction f' solution de l'équation