HN EPNC ES AR

montrent que x, se déduit de x, par une certaine substitution de (y)

et les formules de définitions de V1 Y, donnent

Ji Xi (62%) Va ne (der) ;

FRE TX23) ie VI Va (ss) Æ Ya Ya(dri) EL T(x::)

c'est-à-dire

FIX (Le) + EX: (D) ne p.21 Yilæs) + YIY,(x)

Lt) Tr) Gti + b;æs 1 CjXa + di ee Ci To + di ; ce Ti (Ts) Æ V3 X2(%2) + 4 Ji YiCm) + yi Vilar) ! : T(æ) 5 Tr) CiTi + dits D eme à = e = Z Cj Lo + d; Cie + d; COQ: SPA):

| T | Posons 3 = — 0(z), 0 est une fonction thétafuchsienne d’ordre = 1 2°

En résolvant le système qui définit les y, on trouve 0!

Yi L3— (Dr mes) 7 (as), V2 — CG Las): (Lo); Ys3—=/f1(Le),

Fig):

Il reste à former une fonction 6 d’ordre =: Soient g(z) et A(z)

deux fonctions fuchsiennes, #’(z) est une fonction 0 d'ordre 1,

donc 0 = g(z) Vh'(z) est une fonction 0 d'ordre 53 elle n’est pas uninee SR 3 0! ‘ h" ‘ forme, mais il est facile de voir que 7 = + : pr est uniforme, et

cela suffit pour ce que nous avons en vue.

On vérifie facilement sur ces expressions que les y ne changent pas : Jorsqu’on effectue sur les x une substitution de ( 2’).

2. Formation du groupe G. — Bornons-nous à une étude sommaire des fonctions y précédemment définies.

Ces fonctions se comportent comme des fonctions rationnelles des x en tout point æ,, %,, æ, pour lequel la valeur correspondante de x, n’est pas l’affixe d’un point limite de (y/). Le polyèdre fondamental de (g') est facile à trouver: Soit S un polynome fuchsien correspondant au groupe (Y'), prenons pour P le domaine suivant : (x, intérieur à S, +, et æ, arbitraires). Je dis que tout point M'(x;, x,, æ,) est le transformé d’un point M(x,, #,, &,) de P par une substitution de (g') et par une seule.

Il existe un seul point x, intérieur à S et une seule substitution 7,

de (y’) tels que

(ARE) Lo — To.

Soit + la substitution dé (g’) qui correspond à <, et M—+-'M', le

point M est intérieur à P et M'— M; d’après sa construction, M est

unique ainsi que T. Cs-Q0D.2F Les y se comportent comme des fonctions rationnelles à l’intérieur

de P.

Effectuons sur les variables x une transformation £ du groupe £ :

. ax; + bd:

() Fos CL + dAa LE KCOrs+ d

CE3 + d

, aæ3+ b

D HE TT PER RER ET è RS Ce

Les fonctions subiront une transformation T que nous nous proposons d'étudier. Soit.

Mein Le dans

Les y’ sont des fonctions ultrafuchsiennes de x,, x,, x,, relativement au groupe (g”), on pourrait être tenté d'en conclure que les y” sont des fonctions rationnelles des y et que T est birationnelle. Une telle conclusion est manifestement inexacte, car s’il en était ainsi, les singularités essentielles des y et des y’ seraient les mêmes; or, un point singulier des y’ s'obtient en transformant par {= un point singulier des y et l’ensemble de ces points n’est pas invariant par 4.

On peut seulement affirmer que la transformation T est biuniforme ; en effet, les y étant donnés, les x sont définis à une transformation près de (2); mais { étant permutable avec r les diverses valeurs correspondantes des x se déduisent d’une d’entre elles par les transformations de (2°), les y" sont. donc définis sans re par la donnée des y.

Considérons une transformation infiniment petite { de g, 4-' déplacera infiniment peu les singularités essentielles des y; nues que { dépende d’un paramètre « et se réduise à la transformation identique pour « — o les fonctions /

DAT) D, me) VIE Lys Æ3)

sont des fonctions ultrafuchsiennes de x,, x,, x, quel que soit a;

lorsque « tend vers zéro; on obtient donc des fonctions ultrafuch-

siennes £,(x%,, %,, &,) qui ont les mêmes singularités essentielles que

les y; cette fois, il n’y a plus d’impossibilité à ce que les € soient des

fonctions rationnelles des y; nous allons démontrer qu'il en est ainsi. Remarquons que

UE dy: 2

Hé LE de

af “A NE M

est une transformation infinitésimale de GG. Formons donc les transformation Y,, Y,, Y, de G homologues de X,, X,, X, et exprimons leurs coefficients au moyen des y. Soit

on aura EN dr et, par suite, dYi dYi 7 G11 CITE ARRET VAR I; Gi2— 0; 613 0) G14 0; dy: dYi !

=D, Æ Li = La — (TX Lo T LD =) à G21 l0x, 0x, 3 (æ 2 a) 5 ( 2) 1°

Era = Yo, Y23 — 0, Ene=.-0$

et 9" g'2 à Va 2 dYi 2 9 g ca b TD ie me (DA DL Net Sn =) ANUS ETES UL ETS Ésr 1% (æ: ; 2 5) 5%, 89æ, *! LE FE / 1 2/45 A Es = 2YiY2t+ 2 Fr ; k

33 = — Ya) Ya=N pe

r + 9" g'2 / 9! Ne f Vérifions que Fr l—2 F | et pl2fi en Fi sont des fonctions fuchsiennes. | ; ent 4 ut z+b Imaginons qu’on effectue sur la variable z la substitution z, = cz +d du groupe (y’); en posant f,(z,) = f,(z), 0(z,) —0,(z), on obtient successivement ff fi=fites+d}, fi=fi(es+ d}+a fie(es + d};

Pen PU “ ne Enr cg PA

p' g'2 ‘4 g" g'2 à g! ju à * 7 — & |.= É — F | (cs + d)* + z 2c(cz Li d\$+ c?'(cz + d}';

W 12 LA Q’2 CECILE le elle] fa vit ce

Labris-fll=zlans ji]

Les deux fonctions proposées sont donc des fonctions fuchsiennes de z, c’est-à-dire des fonctions rationnelles © et Ÿ de f,(:) et g(z). Les transformations infinitésimales de (x sont, en définitive,

NN Of Me dy

au ar of LE te Lo rne

= [rime (Ys9% 11 ’

, DA Re 07

+2 +ridCrs à 0ys 7? 91

3» YA étant liés par la relation PP) 0; 5. Relation entre la théorie précédente et celle des équalions

linéaires. — Les fonctions rationnelles pet q qui interviennent dans Y; sont définies par les deux équations :

LE A TRE PA RTE 0! “c als es) vxbre-Al

Eliminons 0 entre ces équations.

: RNA PES RU a, On tire de la première + — ane

Désignons par Ÿ la dérivée de d considérée comme fonction de y*

den A a RE A EU 44] 9 Dé 2f 2f 5 :

d’où [ 1 71 1 !

P — Fa C7 TR 3/4 LUE 24")] si et finalement

LD AO met OR me EE à IE HÉAOTE A ATEN

La fonction f,(x,) est donc définie par l'inversion du quotient de deux intégrales de l’équation linéaire

1 d26 D nn AE), Bérm)e.0